ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение

\(
\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdots \log_{10} 9
\)

\(
\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \ldots \cdot \log_{10} 9 = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 5}{\lg 6} \cdot \frac{\lg 6}{\lg 7} \cdot \frac{\lg 7}{\lg 8} \cdot \frac{\lg 8}{\lg 9} \cdot
\)
\(
\frac{\lg 9}{\lg 10} = \frac{\lg 2}{\lg 10} = \lg 2 : 1 = \lg 2;
\)

Ответ: \(\lg 2\).

Упростим выражение

\(
\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdots \log_{10} 9.
\)

Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что

\(
\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}.
\)

Применим это свойство к каждому логарифму в нашем выражении:

\(
\log_3 2 = \frac{\lg 2}{\lg 3},
\)
\(
\log_4 3 = \frac{\lg 3}{\lg 4},
\)
\(
\log_5 4 = \frac{\lg 4}{\lg 5},
\)
\(
\log_6 5 = \frac{\lg 5}{\lg 6},
\)
\(
\log_7 6 = \frac{\lg 6}{\lg 7},
\)
\(
\log_8 7 = \frac{\lg 7}{\lg 8},
\)
\(
\log_9 8 = \frac{\lg 8}{\lg 9},
\)
\(
\log_{10} 9 = \frac{\lg 9}{\lg 10}.
\)

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное выражение:

\(
\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdots \log_{10} 9 = \frac{\lg 2}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 4} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 5} \cdots \cdot \frac{\lg 9}{\lg 10}.
\)

Обратим внимание на то, что в этом произведении логарифмы в числителе и знаменателе сокращаются:

— \(\lg 3\) в числителе и знаменателе,
— \(\lg 4\) в числителе и знаменателе,
— \(\lg 5\) в числителе и знаменателе,
— \(\lg 6\) в числителе и знаменателе,
— \(\lg 7\) в числителе и знаменателе,
— \(\lg 8\) в числителе и знаменателе,
— \(\lg 9\) в числителе и знаменателе.

В результате остается только

\(
\frac{\lg 2}{\lg 10}.
\)

Так как

\(\lg 10 = 1,\)

то упрощаем:

\(
\frac{\lg 2}{1} = \lg 2.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ: \(\lg 2.\)