ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите значение выражения }
\)
\(
\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32.
\)

Вычислить значение выражения:

\(
\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32 = \frac{\log_{32} 5}{\log_{32} 4} \cdot \frac{\log_{32} 6}{\log_{32} 5} \cdot \frac{\log_{32} 7}{\log_{32} 6} \cdot \frac{\log_{32} 32}{\log_{32} 7} = \frac{\log_{32} 32}{\log_{32} 4} =
\)
\(
= \log_4 32 = \log_2 2^5 = \frac{5}{2};
\)

Ответ: \(\frac{5}{2}\).

Вычислим значение выражения:

\(
\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32.
\)

Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое позволяет нам менять основание логарифма. Мы можем переписать каждое слагаемое в виде дроби:

\(
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.
\)

Выберем основание \( c = 32 \). Тогда выражение можно записать следующим образом:

\(
\log_4 5 = \frac{\log_{32} 5}{\log_{32} 4}, \quad \log_5 6 = \frac{\log_{32} 6}{\log_{32} 5}, \quad \log_6 7 = \frac{\log_{32} 7}{\log_{32} 6}, \quad \log_7 32 = \frac{\log_{32} 32}{\log_{32} 7}.
\)

Теперь подставим эти выражения в наше исходное:

\(
\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 32 = \left(\frac{\log_{32} 5}{\log_{32} 4}\right) \cdot \left(\frac{\log_{32} 6}{\log_{32} 5}\right) \cdot \left(\frac{\log_{32} 7}{\log_{32} 6}\right) \cdot \left(\frac{\log_{32} 32}{\log_{32} 7}\right).
\)

Теперь заметим, что в этом произведении логарифмы в числителе и знаменателе сокращаются:

\(
= \frac{\log_{32} 5}{\log_{32} 4} \cdot \frac{\log_{32} 6}{\log_{32} 5} \cdot \frac{\log_{32} 7}{\log_{32} 6} \cdot \frac{\log_{32} 32}{\log_{32} 7} = \frac{\log_{32} 32}{\log_{32} 4}.
\)

Поскольку \( \log_{32} 32 = 1 \), получаем:

\(
= \frac{1}{\log_{32} 4}.
\)

Теперь вычислим \( \log_{32} 4 \). Мы знаем, что \( 4 = 2^2 \) и \( 32 = 2^5 \), поэтому:

\(
\log_{32} 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 32} = \frac{2}{5}.
\)

Таким образом, подставляем это значение обратно в выражение:

\(
= \frac{1}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{2}.
\)

Ответ:

\(
\frac{5}{2}.
\)