ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Построить графики следующих функций:

1. \( y = \lg(\tan(x)) + \lg(\cot(x)) \);
2. \( y = \log_x(1) \);
3. \( y = 3^{\log_3(x+3)} \);
4. \( y = 5^{-\log_5(x)} \);
5. \( y = 10^{\frac{1}{\log_x(10)}} \);
6. \( y = 2^{\log_2(x^2)} \);
7. \( y = \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x)}{\log_{\frac{1}{2}}(x)} \);
8. \( y = \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{3-x}\left((3-x)^4\right)\right) \);
9. \( y = 2^{\log_4(x^2)} \).

Построить график функции:
1. \( y = \lg \tan x + \lg \cot x \)
— \( y = \lg(\tan x \cdot \cot x) = \lg 1 = 0 \)

Область определения:
— \( \tan x > 0, \cot x > 0 \)
— \( 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
— \( \pi + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \)

График функции:
— \( y = 0 \)
— \( x = 2n\pi \)

2) Функция:
\( y = \log_x 1 = 0 \)

Область определения:
\( x > 0, x \neq 1 \)

График функции:

3) Функция:

\( y = 3^{\log_3 (x+3)} = x + 3 \)

Область определения:
\( x + 3 > 0, x > -3 \)

График функции:

4) Функция:

\( y = 5^{-\log_5 x} = \frac{1}{x} \)

*Область определения:
\( \frac{1}{x} > 0, x > 0 \)

График функции:

5) Функция:

\( y = 10^{\frac{1}{\log_x 10}} = x \)

Область определения:
\( x > 0, x \neq 1 \)

График функции:

6) Функция:

\( y = 2^{\log_2 x^2} = x^2 \)

Область определения:
\( x^2 > 0, x \neq 0 \)

График функции:

7) Функция

\( y = \frac{\log_{1/2} x}{\log_{1/2} x} = 1 \)

Область определения:
\( x > 0, x \neq 1 \)

График функции:

8) Функция
\( y = \log_{1/2} \log_{3-x} (3-x)^4 \)
\( y = \log_{1/2} 4 = \log_2^{-1} 2^2 = -2 \)

Область определения:
\( 3-x > 0, 3-x \neq 1 \)
\( x < 3, x \neq 2 \)

График функции:

9) Функция
\( y = 2^{\log_4 x^2} = 2^{\log_4 2^2} x^2 = |x| \)

Область определения:
\( |x| > 0, x \neq 0 \)

График функции:

1. Функция:
\( y = \lg \tan x + \lg \cot x \)

Преобразование:
Используем свойство логарифмов:
\(
y = \lg(\tan x \cdot \cot x) = \lg 1 = 0
\)

Область определения:
Для функции \( \tan x > 0 \) и \( \cot x > 0 \):
— \( \tan x > 0 \) означает, что угол \( x \) находится в первой и третьей четверти.
— \( \cot x > 0 \) также означает первую и третью четверть.

Таким образом, область определения:
\(
2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\)
и
\(
\pi + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n
\)

График функции:
Функция постоянно равна \( y = 0 \) для всех значений \( x \), принадлежащих области определения.

2. Функция:
\( y = \log_x 1 = 0 \)

Преобразование:
Логарифм числа 1 в любой системе равен 0:
\(
y = 0
\)

Область определения:
Логарифм определён при \( x > 0 \), \( x \neq 1 \).
Таким образом:
\(
x > 0, x \neq 1
\)

График функции:
График представляет собой горизонтальную линию на уровне \( y = 0 \), за исключением точки \( x = 1 \), где функция не определена.

3. Функция:
\( y = 3^{\log_3 (x+3)} \)

Преобразование:
Используем свойство степеней и логарифмов:
\(
y = 3^{\log_3 (x+3)} = x + 3
\)

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
x + 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -3
\)

*График функции:
График представляет собой прямую линию:
\(
y = x + 3
\)
Линия начинается от точки \( (-3, 0) \) и далее возрастает.

4. Функция:
\( y = 5^{-\log_5 x} \)

Преобразование:
Используем свойство степеней и логарифмов:
\(
y = 5^{-\log_5 x} = \frac{1}{x}
\)

Область определения:
Для функции \( \frac{1}{x} > 0 \):
\(
x > 0
\)

График функции:
График представляет собой гиперболу, убывающую при увеличении \( x > 0 \).
— При \( x \to +\infty \), \( y \to 0 \).
— При \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \).

5. Функция:
\( y = 10^{\frac{1}{\log_x 10}} \)

Преобразование:
Используем свойства логарифмов и степеней:
\(
y = x
\)

Область определения:
Логарифм определён при \( x > 0 \), \( x \neq 1 \).
Таким образом:
\(
x > 0, x \neq 1
\)

График функции:
График представляет собой прямую линию:
\(
y = x
\)
Прямая проходит через начало координат, но исключает точку \( x = 1 \).

6. Функция:
\( y = 2^{\log_2 x^2} \)

Преобразование:
Используем свойства степеней и логарифмов:
\(
y = x^2
\)

Область определения:
Для функции \( x^2 > 0 \):
\(
x \neq 0
\)

График функции:
График представляет собой параболу:
\(
y = x^2
\)
Она симметрична относительно оси \( y \) и проходит через начало координат, исключая точку \( x = 0 \).

7. Функция:
\( y = \frac{\log_{1/2} x}{\log_{1/2} x} \)

Преобразование:
Так как числитель равен знаменателю, то:
\(
y = 1
\)

Область определения:
Логарифм определён при \( x > 0, x \neq 1 \). Таким образом:
\(
x > 0, x \neq 1
\)

График функции:
График представляет собой горизонтальную линию на уровне \( y = 1 \), исключая точку \( x = 1 \).

8. Функция:
\( y = \log_{1/2} \log_{3-x} (3-x)^4 \)

Преобразование
Сначала упростим выражение внутри логарифма:
— Если \( (3-x)^4 > 0 \), то аргумент внутреннего логарифма положителен.

Учитывая свойства логарифмов:
\(
y = -2
\)

Область определения:
Аргумент внутреннего логарифма должен быть положительным:
\(
3 — x > 0, \quad 3 — x \neq 1
\)
Таким образом:
\(
x < 3, x \neq 2
\)

График функции:
График представляет собой горизонтальную линию на уровне \( y = -2 \), исключая область вне определения.

9. Функция:
\( y = 2^{\log_4 x^2} \)

*Преобразование:
Используем свойства степеней и логарифмов:
\(
y = |x|
\)

Область определения:
Для функции \( |x| > 0 \):
\(
x \neq 0
\)

График функции:
График представляет собой две линии:
— \( y = x \) для \( x > 0 \).
— \( y = -x \) для \( x < 0 \).