ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Построить графики следующих функций:

1. \( y = 7^{\log_7(x+2)} \);
2. \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}(x-1)} \);
3. \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2(x^2)} \);
4. \( y = \log_x(x) \);
5. \( y = \frac{\lg(x^2+1)}{\lg(x^2+1)} \);
6. \( y = x^{\log_x(2x)} \);
7. \( y = \log_3\left(\log_{x+1}\left((x+1)^{27}\right)\right) \);
8. \( y = \log_{\frac{1}{3}}(x-2) \cdot \log_{x-2}\left(\frac{1}{3}\right) \).

1) \( y = 7^{\log_7(x+2)} = x + 2 \);
Область определения:
\( x + 2 > 0, \quad x > -2 \);
График функции:

2) \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3(x-1)} = x — 1 \)

Область определения:
\( x — 1 > 0 \), \( x > 1 \)

График функции:

3) \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 x^2} \)
Область определения:
\( x^2 > 0, \quad x \neq 0 \);
График функции:

4) \( y = \log_x x = 1 \)
Область определения:
\( x > 0, \quad x \neq 1 \);
График функции:

5) \( y = \frac{\lg(x^2 + 1)}{\lg(x^2 + 1)} = 1 \)
Область определения:
\( x^2 + 1 > 0, \quad x^2 + 1 \neq 1; \quad x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0 \);
График функции:

6) \( y = x^{\log_x (2x)} = 2x \)
Область определения:
\( x > 0, \quad x \neq 1 \);
График функции:

7) \( y = \log_3 \log_{x+1} (x+1)^{27} \); \( y = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3 \)
Область определения:
\( x+1 > 0, \quad x+1 \neq 1; \quad x > -1, \quad x \neq 0 \);
График функции:

8) \( y = \log_{1/3}(x — 2) \cdot \log_{x-2} (1/3) \); \( y = \log_{1/3}(x — 2) \cdot \frac{1}{\log_{1/3}(x — 2)} = 1 \)
Область определения:
\( x — 2 > 0, \quad x — 2 \neq 1; \quad x > 2, \quad x \neq 3 \);
График функции:

1) \( y = 7^{\log_7(x+2)} = x + 2 \)
Область определения:
\(
x + 2 > 0, \quad x > -2
\)
График функции:
Функция \( y = x + 2 \) является линейной. График представляет собой прямую, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 2) \) и имеет наклон 1. Учитывая область определения, график начинается в точке \( (-2, 0) \) и продолжается в положительном направлении.

2) \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3(x-1)} = x — 1 \)
Область определения:
\(
x — 1 > 0, \quad x > 1
\)
График функции:
Функция \( y = x — 1 \) также является линейной. График начинается в точке \( (1, 0) \), что соответствует области определения, и проходит через точки, такие как \( (2, 1) \), \( (3, 2) \), с наклоном 1.

3) \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 x^2} \)
Область определения:
\(
x^2 > 0, \quad x \neq 0
\)
График функции:
Функция представляет собой симметричную экспоненциальную зависимость относительно оси \( y \). Область определения исключает значение \( x = 0 \), так как логарифм не определён для нуля. График проходит через точки \( (1, 1) \), \( (-1, 1) \), а также уменьшается при увеличении модуля \( x \).

4) \( y = \log_x x = 1 \)
Область определения:
\(
x > 0, \quad x \neq 1
\)
График функции:
Функция принимает значение \( y = 1 \) для всех допустимых значений \( x \). Однако значение \( x = 1 \) исключено из области определения, так как логарифм по основанию равному аргументу не определён.

5) \( y = \frac{\lg(x^2 + 1)}{\lg(x^2 + 1)} = 1 \)
Область определения:
\(
x^2 + 1 > 0, \quad x^2 + 1 \neq 1; \quad x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 0
\)
График функции:
Функция постоянно равна \( y = 1 \), за исключением точек, где область определения нарушается. Исключены значения \( x = 0 \), а также такие значения \( x \), при которых \( x^2 + 1 = 1 \).

6) \( y = x^{\log_x (2x)} = 2x \)
Область определения:
\(
x > 0, \quad x \neq 1
\)
График функции:
Функция представляет собой линейную зависимость \( y = 2x \). График проходит через точки, такие как \( (2, 4) \), \( (3, 6) \), с наклоном 2. Значение \( x = 1 \) исключено из области определения.

7) \( y = \log_3 \log_{x+1} (x+1)^{27} ; y = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3 \)
Область определения:
\(
x+1 > 0, \quad x+1 \neq 1; \quad x > -1, \quad x \neq 0
\)
График функции:
Функция принимает постоянное значение \( y = 3 \). Исключены значения, где область определения нарушается (\( x = -1 \), \( x = 0 \)).

8) \( y = \log_{1/3}(x — 2) \cdot \log_{x-2} (1/3); y = \log_{1/3}(x — 2) \cdot \frac{1}{\log_{1/3}(x — 2)} = 1 \)
Область определения:
\(
x — 2 > 0, \quad x — 2 \neq 1; \quad x > 2, \quad x \neq 3
\)
График функции:
Функция постоянно равна \( y = 1 \). Исключены значения \( x = 3 \), а также значения вне области определения (\( x < 2 \)).