ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Члены геометрической прогрессии являются положительными числами. Докажите, что логарифмы последовательных членов этой прогрессии по любому основанию образуют арифметическую прогрессию.

Пусть дана геометрическая прогрессия: \( b_1, b_2, \dots, b_n, \dots, \ q = \frac{b_2}{b_1}, \ b_n > 0 \);

Рассмотрим последовательность:
\(
a_1 = \log_x b_1, \ a_2 = \log_x b_2, \ a_n = \log_x b_n;
\)
\(
d = a_{n+1} — a_n = \log_x b_{n+1} — \log_x b_n;
\)
\(
d = \log_x(b_1 \cdot q^n) — \log_x(b_1 \cdot q^{n-1});
\)
\(
d = \log_x \frac{b_1 \cdot q^n}{b_1 \cdot q^{n-1}} = \log_x q^{n-n+1} = \log_x q;
\)

Что и требовалось доказать.

Пусть дана геометрическая прогрессия: \( b_1, b_2, \dots, b_n, \dots \), где \( q = \frac{b_2}{b_1} \) и \( b_n > 0 \).

Геометрическая прогрессия определяется тем, что каждый следующий элемент равен предыдущему, умноженному на общее отношение \( q \). Таким образом, можно записать:

\(
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
\)

Теперь рассмотрим последовательность, заданную логарифмами элементов геометрической прогрессии:

\(
a_1 = \log_x b_1, \quad a_2 = \log_x b_2, \quad a_n = \log_x b_n
\)

Теперь определим разность между последовательными членами:

\(
d = a_{n+1} — a_n = \log_x b_{n+1} — \log_x b_n
\)

Подставим выражения для \( b_{n+1} \) и \( b_n \):

\(
d = \log_x(b_{n+1}) — \log_x(b_n) = \log_x(b_1 \cdot q^n) — \log_x(b_1 \cdot q^{n-1})
\)

Используя свойства логарифмов, мы можем переписать это выражение как:

\(
d = \log_x(b_1) + \log_x(q^n) — \left( \log_x(b_1) + \log_x(q^{n-1}) \right)
\)

Упрощая это, получаем:

\(
d = \log_x(q^n) — \log_x(q^{n-1}) = n \cdot \log_x q — (n-1) \cdot \log_x q
\)

Теперь упростим это выражение:

\(
d = n \cdot \log_x q — (n-1) \cdot \log_x q = (n — (n-1)) \cdot \log_x q = 1 \cdot \log_x q = \log_x q
\)

Таким образом, мы пришли к выводу, что разность последовательности \( d = a_{n+1} — a_n = \log_x q \).

Что и требовалось доказать.