ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Выразить \(\log_{ab} x\) через \(\log_a x\) и \(\log_b x\):

\(
\log_{ab} x = ?
\)

\(
\log_{ab} x = \frac{1}{\log_x ab} = \frac{1}{\log_x a + \log_x b} = \frac{1}{\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x}} = \frac{\log_a x \cdot \log_b x}{\log_b x + \log_a x}.
\)

Ответ:
\(
\frac{\log_a x \cdot \log_b x}{\log_a x + \log_b x}.
\)

Рассмотрим выражение \(\log_{ab} x\) и выразим его через \(\log_a x\) и \(\log_b x\).

1. Начнем с определения логарифма с основанием \(ab\):
\(
\log_{ab} x = \frac{1}{\log_x ab}
\)

2. Используем свойство логарифмов, что \(\log_x ab\) можно разложить на сумму:
\(
\log_x ab = \log_x a + \log_x b
\)

3. Подставим это в первое уравнение:
\(
\log_{ab} x = \frac{1}{\log_x a + \log_x b}
\)

4. Теперь применим обратные логарифмы для \(\log_x a\) и \(\log_x b\):
\(
\log_x a = \frac{1}{\log_a x}, \quad \log_x b = \frac{1}{\log_b x}
\)

5. Подставим эти выражения обратно:
\(
\log_{ab} x = \frac{1}{\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x}}
\)

6. Упростим дробь, объединив её:
\(
\log_{ab} x = \frac{1}{\frac{\log_b x + \log_a x}{\log_a x \cdot \log_b x}} = \frac{\log_a x \cdot \log_b x}{\log_b x + \log_a x}
\)

Таким образом, мы выразили \(\log_{ab} x\) через \(\log_a x\) и \(\log_b x\):
\(
\log_{ab} x = \frac{\log_a x \cdot \log_b x}{\log_a x + \log_b x}
\)