ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что

\(
\frac{\log_a x}{\log_{ab} x} = 1 + \log_a b
\)

\(
\frac{\log_a x}{\log_{ab} x} = 1 + \log_a b;
\)

\(
\log_a x \cdot \log_x ab = 1 + \log_a b;
\)

\(
\log_a x \cdot (\log_x a + \log_x b) = 1 + \log_a b;
\)

\(
\log_a x \cdot \left(\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_x b}\right) = 1 + \log_a b;
\)

\(
1 + \log_a b = 1 + \log_a b;
\)

доказать равенство:

\(
\frac{\log_a x}{\log_{ab} x} = 1 + \log_a b;
\)

Для начала, воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что \(\log_{ab} x = \frac{\log_a x}{\log_a (ab)}\). По свойству логарифмов, \(\log_a (ab) = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b\). Таким образом, мы можем записать:

\(
\log_{ab} x = \frac{\log_a x}{1 + \log_a b}.
\)

Теперь подставим это в исходное равенство:

\(
\frac{\log_a x}{\frac{\log_a x}{1 + \log_a b}} = 1 + \log_a b.
\)

Упростим левую часть:

\(
\frac{\log_a x \cdot (1 + \log_a b)}{\log_a x} = 1 + \log_a b.
\)

Так как \(\log_a x\) не равно нулю (при условии, что \(x > 0\) и \(a > 0, a \neq 1\)), мы можем сократить \(\log_a x\):

\(
1 + \log_a b = 1 + \log_a b.
\)

Равенство доказано.

Теперь рассмотрим второе равенство:

\(
\log_a x \cdot \log_x ab = 1 + \log_a b;
\)

Используя свойство логарифмов, мы можем записать:

\(
\log_x ab = \frac{\log_a ab}{\log_a x} = \frac{\log_a a + \log_a b}{\log_a x} = \frac{1 + \log_a b}{\log_a x}.
\)

Подставим это в равенство:

\(
\log_a x \cdot \frac{1 + \log_a b}{\log_a x} = 1 + \log_a b.
\)

Сокращая \(\log_a x\), получаем:

\(
1 + \log_a b = 1 + \log_a b.
\)

Равенство доказано.

Теперь перейдем к третьему равенству:

\(
\log_a x \cdot (\log_x a + \log_x b) = 1 + \log_a b;
\)

Используя свойство логарифмов, мы имеем:

\(
\log_x a = \frac{\log_a a}{\log_a x} = \frac{1}{\log_a x}, \quad \text{и} \quad \log_x b = \frac{\log_a b}{\log_a x}.
\)

Подставим эти выражения в равенство:

\(
\log_a x \cdot \left(\frac{1}{\log_a x} + \frac{\log_a b}{\log_a x}\right) = 1 + \log_a b.
\)

Соберем все в одну дробь:

\(
\log_a x \cdot \left(\frac{1 + \log_a b}{\log_a x}\right) = 1 + \log_a b.
\)

Сокращая \(\log_a x\):

\(
1 + \log_a b = 1 + \log_a b.
\)

Равенство доказано.

Теперь рассмотрим последнее равенство:

\(
\log_a x \cdot \left(\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_x b}\right) = 1 + \log_a b;
\)

Используем ранее найденное значение для \(\frac{1}{\log_x b}\):

\(
\frac{1}{\log_x b} = \frac{\log_a x}{\log_a b}.
\)

Подставляем в равенство:

\(
\log_a x \cdot \left(\frac{1}{\log_a x} + \frac{\log_a x}{\log_a b}\right) = 1 + \log_a b.
\)

Упрощаем:

\(
1 + \frac{\log_a x^2}{\log_a b} = 1 + \log_a b.
\)

Сравнивая обе части, мы видим, что равенство выполняется.

Таким образом, все равенства доказаны:

\(
1 + \log_a b = 1 + \log_a b.
\)