ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите } \log_{45} 60, \text{ если } \log_{5} 2 = a, \log_{5} 3 = b.
\)

Найти \(\log_{45} 60\), если \(\log_5 2 = a\), \(\log_5 3 = b\):

\(
\log_{45} 60 = \frac{\log_5 60}{\log_5 45} = \frac{\log_5 (4 \cdot 3 \cdot 5)}{\log_5 (9 \cdot 5)} = \frac{\log_5 (2^2 \cdot 3 \cdot 5)}{\log_5 (3^2 \cdot 5)};
\)

\(
\frac{\log_5 2^2 + \log_5 3 + \log_5 5}{\log_5 3^2 + \log_5 5} = \frac{2 \log_5 2 + \log_5 3 + \log_5 5}{2 \log_5 3 + \log_5 5} = \frac{2a + b + 1}{2b + 1}.
\)

Ответ:
\(
\frac{2a + b + 1}{2b + 1}.
\)

Найти \(\log_{45} 60\), если \(\log_5 2 = a\), \(\log_5 3 = b\):

Для начала воспользуемся формулой перехода между логарифмами:

\(
\log_{45} 60 = \frac{\log_5 60}{\log_5 45}.
\)

Теперь разложим логарифмы в числителе и знаменателе. Начнем с числителя:

\(
\log_5 60 = \log_5 (4 \cdot 3 \cdot 5) = \log_5 (2^2 \cdot 3 \cdot 5).
\)

Используя свойства логарифмов, мы можем записать:

\(
\log_5 (2^2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_5 2^2 + \log_5 3 + \log_5 5 = 2 \log_5 2 + \log_5 3 + \log_5 5.
\)

Так как \(\log_5 5 = 1\), то получаем:

\(
\log_5 60 = 2 \log_5 2 + \log_5 3 + 1 = 2a + b + 1.
\)

Теперь рассмотрим знаменатель:

\(
\log_5 45 = \log_5 (9 \cdot 5) = \log_5 (3^2 \cdot 5).
\)

По аналогии, используя свойства логарифмов, получаем:

\(
\log_5 (3^2 \cdot 5) = \log_5 3^2 + \log_5 5 = 2 \log_5 3 + \log_5 5.
\)

Снова учитывая, что \(\log_5 5 = 1\), имеем:

\(
\log_5 45 = 2 \log_5 3 + 1 = 2b + 1.
\)

Теперь подставим выражения для числителя и знаменателя обратно в формулу для \(\log_{45} 60\):

\(
\log_{45} 60 = \frac{2a + b + 1}{2b + 1}.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(
\frac{2a + b + 1}{2b + 1}.
\)