ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите значения логарифмов:}
\)
1) \(\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{9}\);
2) \(\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{27}\);
3) \(\log_{\frac{1}{3}}3\);
4) \(\log_{\frac{1}{3}}81\);
5) \(\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}}\);
6) \(\log_{\frac{1}{3}}3^{\frac{1}{3}}\).

Найти логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \):

1) \( \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 2 \);
Ответ: \( 2 \).

2) \( \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 3 \);
Ответ: \( 3 \).

3) \( \log_{\frac{1}{3}} 3 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = -1 \);
Ответ: \( -1 \).

4) \( \log_{\frac{1}{3}} 81 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = -4 \);
Ответ: \( -4 \).

5) \( \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \);
Ответ: \( \frac{1}{3} \).

Найти логарифм по основанию \( \frac{1}{3} \):

1) \( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \frac{1}{9} \):
Представим \( \frac{1}{9} \) как степень числа \( \frac{1}{3} \):
\( \frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \).
Тогда:
\( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \frac{1}{9} = \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 2 \).
Ответ: \( 2 \).

2) \( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \frac{1}{27} \):
Представим \( \frac{1}{27} \) как степень числа \( \frac{1}{3} \):
\( \frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \).
Тогда:
\( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \frac{1}{27} = \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 3 \).
Ответ: \( 3 \).

3) \( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} 3 \):
Представим \( 3 \) как степень числа \( \frac{1}{3} \):
\( 3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \).
Тогда:
\( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} 3 = \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = -1 \).
Ответ: \( -1 \).

4) \( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} 81 \):
Представим \( 81 \) как степень числа \( \frac{1}{3} \):
\( 81 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} \).
Тогда:
\( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} 81 = \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = -4 \).
Ответ: \( -4 \).

5) \( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \frac{1}{\sqrt{3}} \):
Представим \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) как степень числа \( \frac{1}{3} \):
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} \).
Тогда:
\( \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \frac{1}{\sqrt{3}} = \log_{\left(\frac{1}{3}\right)} \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \).
Ответ: \( \frac{1}{3} \).