ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найти \( \log_8 9 \), если \( \log_{12} 18 = a \);

2) Найти \( \log_5 6 \), если \( \lg 2 = a \), \( \lg 3 = b \).

1) \(\log_8 9\), если \(\log_{12} 18 = a\):

\(
\log_8 9 = \log_2 3^2 = \frac{2}{3} \log_2 3;
\)

\(
\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = a;
\)

\(
\frac{\log_2 (2 \cdot 9)}{\log_2 (4 \cdot 3)} = a;
\)

\(
\frac{\log_2 2 + \log_2 3^2}{\log_2 2^2 + \log_2 3} = a;
\)

\(
\frac{1 + 2 \log_2 3}{2 + \log_2 3} = a;
\)

\(
1 + 2 \log_2 3 = 2a + a \log_2 3;
\)

\(
\log_2 3 \cdot (2 — a) = 2a — 1;
\)

\(
\log_2 3 = \frac{2a — 1}{2 — a};
\)

Ответ:
\(
\frac{2(2a — 1)}{3(2 — a)}.
\)

2) \(\log_5 6\), если \(\lg 2 = a\), \(\lg 3 = b\):

\(
\log_5 6 = \frac{\lg (2 \cdot 3)}{\lg 5} = \frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 10 — \lg 2} = \frac{a + b}{1 — a};
\)

Ответ:
\(
\frac{a + b}{1 — a}.
\)

1) Найти значение \(\log_8 9\), если \(\log_{12} 18 = a\):

Начнем с преобразования \(\log_8 9\):

\(
\log_8 9 = \log_2 3^2 = \frac{2}{3} \log_2 3.
\)

Теперь рассмотрим \(\log_{12} 18\):

\(
\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12} = a.
\)

Запишем \(\log_2 18\) и \(\log_2 12\):

\(
\log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 9) = \log_2 2 + \log_2 9 = 1 + \log_2 3^2 = 1 + 2 \log_2 3,
\)

\(
\log_2 12 = \log_2 (4 \cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3.
\)

Теперь подставим эти выражения в формулу для \(a\):

\(
a = \frac{1 + 2 \log_2 3}{2 + \log_2 3}.
\)

Теперь преобразуем это уравнение:

Умножим обе стороны на \(2 + \log_2 3\):

\(
a(2 + \log_2 3) = 1 + 2 \log_2 3.
\)

Раскроем скобки:

\(
2a + a \log_2 3 = 1 + 2 \log_2 3.
\)

Переносим все члены, содержащие \(\log_2 3\), в одну сторону:

\(
1 + 2 \log_2 3 — a \log_2 3 — 2a = 0.
\)

Факторизуем:

\(
\log_2 3(2 — a) = 2a — 1.
\)

Теперь выразим \(\log_2 3\):

\(
\log_2 3 = \frac{2a — 1}{2 — a}.
\)

Подставляем это выражение обратно в формулу для \(\log_8 9\):

\(
\log_8 9 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2a — 1}{2 — a}.
\)

Таким образом, ответ:

\(
\frac{2(2a — 1)}{3(2 — a)}.
\)

2) Найти значение \(\log_5 6\), если \(\lg 2 = a\), \(\lg 3 = b\):

Начнем с преобразования \(\log_5 6\):

\(
\log_5 6 = \frac{\lg (2 \cdot 3)}{\lg 5} = \frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 5}.
\)

Согласно свойству логарифмов, мы можем записать:

\(
\lg (10) = \lg (2) + \lg (5).
\)

Отсюда получаем:

\(
\lg 5 = \lg (10) — \lg (2) = 1 — a.
\)

Теперь подставим это значение в формулу для \(\log_5 6\):

\(
\log_5 6 = \frac{a + b}{1 — a}.
\)

Таким образом, ответ:

\(
\frac{a + b}{1 — a}.
\)