ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите } \log_{30} 8, \text{ если } \lg 5 = a, \lg 3 = b.
\)

Найти \(\log_{30} 8\), если \(\lg 5 = a\), \(\lg 3 = b\):

\(
\log_{30} 8 = \frac{\lg 8}{\lg 30} = \frac{\lg 2^3}{\lg (3 \cdot 10)} = \frac{3 \lg 2}{\lg 3 + \lg 10};
\)

\(
= \frac{3 \lg (10 : 5)}{\lg 3 + 1} = \frac{3 (\lg 10 — \lg 5)}{\lg 3 + 1} = \frac{3 (1 — a)}{b + 1};
\)

Ответ:
\(
\frac{3 (1 — a)}{b + 1}.
\)

Найти \(\log_{30} 8\), если \(\lg 5 = a\), \(\lg 3 = b\):

Для начала воспользуемся формулой изменения основания логарифма:

\(
\log_{30} 8 = \frac{\lg 8}{\lg 30}
\)

Затем выразим \(\lg 8\) и \(\lg 30\) через более простые логарифмы. Мы знаем, что:

\(
\lg 8 = \lg(2^3) = 3 \lg 2
\)

Теперь найдем \(\lg 30\):

\(
\lg 30 = \lg(3 \cdot 10) = \lg 3 + \lg 10
\)

Зная, что \(\lg 10 = 1\), можем записать:

\(
\lg 30 = \lg 3 + 1
\)

Теперь подставим эти выражения в формулу для \(\log_{30} 8\):

\(
\log_{30} 8 = \frac{3 \lg 2}{\lg 3 + 1}
\)

Далее найдем \(\lg 2\) через \(\lg 10\) и \(\lg 5\):

\(
\lg 2 = \lg\left(\frac{10}{5}\right) = \lg 10 — \lg 5 = 1 — a
\)

Теперь подставим это значение в выражение для \(\log_{30} 8\):

\(
\log_{30} 8 = \frac{3 (1 — a)}{\lg 3 + 1}
\)

Заменим \(\lg 3\) на \(b\):

\(
\log_{30} 8 = \frac{3 (1 — a)}{b + 1}
\)

Таким образом, ответом будет:

\(
\frac{3 (1 — a)}{b + 1}
\)