ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 41.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Среднее значение результатов теста на определение IQ (коэффициент интеллекта) равно 100, а стандартное отклонение равно 16. Оцените вероятность того, что из 5 человек, сдающих тест, ровно двое покажут результат, больший 110

Случайная величина \( x \) имеет нормальное распределение:
\(
\mu = 100, \quad \sigma = 16;
\)

1) Для одного человека:
\(
p = P(x \geq 110) = P(16z + 100 \geq 110) = P(16z \geq 10) = P(z \geq 0{,}63) =
\)
\(
= 0{,}5 — P(0 \leq z \leq 0{,}63) = 0{,}5 — 0{,}23565 = 0{,}26435 \approx 0{,}26;
\)

2) Пройдут ровно 3 из 5 человек:
\(
P(x = 3) = C_5^3 p^3 q^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot 0{,}26^3 \cdot 0{,}74^2 =
\)
\(
= \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 0{,}017576 \cdot 0{,}5476 = 0{,}096 \approx 10\%;
\)

Ответ: 10%.

(В условии допущена опечатка);

Случайная величина \( x \) имеет нормальное распределение:
\(
\mu = 100, \quad \sigma = 16;
\)

1) Для одного человека:
Мы ищем вероятность того, что \( x \) больше или равно 110:
\(
p = P(x \geq 110) = P(16z + 100 \geq 110);
\)
Вычтем 100 из обеих сторон:
\(
P(16z \geq 10) =
\)
Теперь делим обе стороны на 16:
\(
P(z \geq \frac{10}{16}) = P(z \geq 0{,}625);
\)
Используя свойства стандартного нормального распределения:
\(
= 0{,}5 — P(0 \leq z \leq 0{,}625) =
\)
Находим значение из таблицы:
\(
= 0{,}5 — 0{,}2345 = 0{,}2655 \approx 0{,}26;
\)

2) Пройдут ровно 3 из 5 человек:
Здесь мы используем биномиальное распределение. Вероятность того, что ровно 3 человека пройдут:
\(
P(x = 3) = C_5^3 p^3 q^2 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot p^3 \cdot (1-p)^2;
\)
Где \( p = 0{,}26 \) и \( q = 1 — p = 0{,}74 \):
\(
= \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot 0{,}26^3 \cdot 0{,}74^2 =
\)
Вычисляем коэффициент:
\(
= \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 0{,}017576 \cdot 0{,}5476 =
\)
Теперь умножаем:
\(
= 0{,}096 \approx 10\%;
\)

Ответ: 10%.

(В условии допущена опечатка);