ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 41.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Средний рост девочек в 11 классе составляет 166 см, а стандартное отклонение — 7 см. Тренер баскетбольной команды ищет девочек ростом не ниже 180 см. Оцените вероятность того, что из 100 одиннадцатиклассниц школы ему удастся собрать команду из 5 человек.

Случайная величина \( x \) имеет нормальное распределение:
\(
\mu = 166 \text{ см}, \quad \sigma = 7 \text{ см};
\)

1) Для одного человека:
\(
p = P(x \geq 180) = P(7z + 166 \geq 180) = P(7z \geq 14) = P(z \geq 2) =
\)
\(
= 0{,}5 — P(0 \leq z \leq 2) =
\)
\(
= 0{,}5 — 0{,}47725 = 0{,}02275 \approx 0{,}023;
\)

2) Значение коэффициента:
\(
\lambda = np = 100 \cdot 0{,}023 = 2{,}3;
\)

3) Пройдут не менее 5 из 100 человек:
\(
P = 1 — P(x=0) — P(x=1) — P(x=2) — P(x=3) — P(x=4) =
\)
\(
= 1 — \frac{2{,}3^0}{0! e^{2{,}3}} — \frac{2{,}3^1}{1! e^{2{,}3}} — \frac{2{,}3^2}{2! e^{2{,}3}} — \frac{2{,}3^3}{3! e^{2{,}3}} — \frac{2{,}3^4}{4! e^{2{,}3}} =
\)
\(
= 1 — 0{,}100259 — 0{,}230595 — 0{,}265185 — 0{,}203308 — 0{,}116902 = 0{,}083751
\)
\(
\approx 8{,}4\%;
\)

Ответ: 8,4%.

(В учебнике дан неверный ответ);

Случайная величина \( x \) имеет нормальное распределение:
\(
\mu = 166 \text{ см}, \quad \sigma = 7 \text{ см};
\)

1) Для одного человека:
Мы ищем вероятность того, что рост человека больше или равен 180 см:
\(
p = P(x \geq 180) = P(7z + 166 \geq 180);
\)
Вычтем 166 из обеих сторон:
\(
P(7z \geq 14) =
\)
Теперь делим обе стороны на 7:
\(
P(z \geq \frac{14}{7}) = P(z \geq 2);
\)
Используя свойства стандартного нормального распределения:
\(
= 0{,}5 — P(0 \leq z \leq 2) =
\)
Находим значение из таблицы:
\(
= 0{,}5 — 0{,}47725 = 0{,}02275 \approx 0{,}023;
\)

2) Значение коэффициента:
Коэффициент \( \lambda \) определяется как произведение числа испытаний на вероятность успеха:
\(
\lambda = np = 100 \cdot 0{,}023 = 2{,}3;
\)

3) Пройдут не менее 5 из 100 человек:
Здесь мы используем распределение Пуассона, чтобы найти вероятность того, что не менее 5 человек пройдут:
\(
P = 1 — P(x=0) — P(x=1) — P(x=2) — P(x=3) — P(x=4) =
\)
Каждое из значений рассчитывается по формуле для распределения Пуассона:
\(
= 1 — \frac{2{,}3^0}{0! e^{2{,}3}} — \frac{2{,}3^1}{1! e^{2{,}3}} — \frac{2{,}3^2}{2! e^{2{,}3}} — \frac{2{,}3^3}{3! e^{2{,}3}} — \frac{2{,}3^4}{4! e^{2{,}3}} =
\)
Подставляем значения и вычисляем:
\(
= 1 — 0{,}100259 — 0{,}230595 — 0{,}265185 — 0{,}203308 — 0{,}116902 =
\)
Вычисляем итоговую вероятность:
\(
= 0{,}083751 \approx 8{,}4\%;
\)

Ответ: 8,4%.

(В учебнике дан неверный ответ);