ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 41.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

(Правило трёх сигм.) Пусть случайная величинах имеет нормальное распределение с параметрами м и о. Докажите, что с вероятностью не меньшей, чем 99 %, случайная величина х принимает значения, удовлетворяющие двойному неравенству м-3о

Случайная величина \( z \) имеет нормальное распределение:

\(
P(\mu — 3\sigma \leq x \leq \mu + 3\sigma) = P(\mu — 3\sigma \leq \sigma z + \mu \leq \mu + 3\sigma) = P(-3 \leq z \leq 3)
\)
\(
= P(0 \leq z \leq 3) + P(0 \leq z \leq 3) = 0{,}49865 + 0{,}49865 = 0{,}9973;
\)

Что и требовалось доказать.

Случайная величина \( z \) имеет нормальное распределение:

Рассмотрим вероятность того, что случайная величина \( x \) лежит в интервале от \( \mu — 3\sigma \) до \( \mu + 3\sigma \):
\(
P(\mu — 3\sigma \leq x \leq \mu + 3\sigma)
\)

Поскольку \( x \) можно выразить через стандартную нормальную величину \( z \):
\(
= P(\mu — 3\sigma \leq \sigma z + \mu \leq \mu + 3\sigma)
\)

Вычтем \( \mu \) из всех частей неравенства:
\(
= P(-3\sigma \leq \sigma z \leq 3\sigma)
\)

Теперь разделим все части неравенства на \( \sigma \) (при этом знак неравенства не изменится, так как \( \sigma > 0 \)):
\(
= P(-3 \leq z \leq 3)
\)

Теперь можем разбить это выражение на две части:
\(
= P(0 \leq z \leq 3) + P(-3 \leq z < 0)
\)

Из симметрии стандартного нормального распределения знаем, что:
\(
P(-3 \leq z < 0) = P(0 \leq z \leq 3)
\)

Таким образом, можем записать:
\(
= P(0 \leq z \leq 3) + P(0 \leq z \leq 3) = 2P(0 \leq z \leq 3)
\)

Теперь подставим значение из таблицы стандартного нормального распределения:
\(
= 2 \cdot 0{,}49865 = 0{,}9973;
\)

Что и требовалось доказать.