ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 41.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Случайная величина } X \text{ имеет нормальное распределение. }
\)
\(
\text{ . Найдите приближённые значения математического ожидания }
\)
\(
\mu \text{ и стандартного отклонения } \sigma
\)
\(
\text{ случайной величины } X, \text{ если } P(X < 10) = 0{,}26 \text{ и } P(X > 27) = 0{,}39.
\)

Случайная величина \( z \) имеет нормальное распределение:

1)
\(
P(x \leq 10) = 0{,}26;
\)
\(
P(\sigma z + \mu \leq 10) = 0{,}26;
\)
\(
P\left(z \leq \frac{10 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}26;
\)
\(
0{,}5 — P\left(0 \leq z \leq — \frac{10 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}26;
\)
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{\mu — 10}{\sigma}\right) = 0{,}24;
\)
\(
\frac{\mu — 10}{\sigma} = 0{,}64;
\)
\(
\mu — 10 = 0{,}64 \sigma;
\)
\(
\mu = 10 + 0{,}64 \sigma;
\)

2)
\(
P(x \geq 27) = 0{,}39;
\)
\(
P(\sigma z + \mu \geq 27) = 0{,}39;
\)
\(
P\left(z \geq \frac{27 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}39;
\)
\(
0{,}5 — P\left(0 \leq z \leq \frac{27 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}39;
\)
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{27 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}11;
\)
\(
\frac{27 — \mu}{\sigma} = 0{,}28;
\)
\(
27 — 10 — 0{,}64 \sigma = 0{,}28 \sigma;
\)
\(
0{,}92 \sigma = 17, \quad \sigma = 18{,}47;
\)
\(
\mu = 10 + 18{,}47 \times 0{,}64 = 21{,}82;
\)

Ответ:
\(
M(x) = 21{,}82; \quad \sigma(x) = 18{,}47.
\)

Случайная величина \( z \) имеет нормальное распределение:

1)
Рассмотрим вероятность того, что случайная величина \( x \) меньше или равна 10:
\(
P(x \leq 10) = 0{,}26;
\)
Это можно записать как:
\(
P(\sigma z + \mu \leq 10) = 0{,}26;
\)
Теперь, используя стандартную нормальную величину \( z \), получаем:
\(
P\left(z \leq \frac{10 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}26;
\)
Из свойств нормального распределения знаем, что:
\(
0{,}5 — P\left(0 \leq z \leq — \frac{10 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}26;
\)
Следовательно, можем записать:
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{\mu — 10}{\sigma}\right) = 0{,}24;
\)
Таким образом, получаем уравнение:
\(
\frac{\mu — 10}{\sigma} = 0{,}64;
\)
Отсюда следует:
\(
\mu — 10 = 0{,}64 \sigma;
\)
И, следовательно:
\(
\mu = 10 + 0{,}64 \sigma;
\)

2)
Теперь рассмотрим вероятность того, что случайная величина \( x \) больше или равна 27:
\(
P(x \geq 27) = 0{,}39;
\)
Это можно записать как:
\(
P(\sigma z + \mu \geq 27) = 0{,}39;
\)
Преобразуем это выражение:
\(
P\left(z \geq \frac{27 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}39;
\)
С учетом свойств нормального распределения получаем:
\(
0{,}5 — P\left(0 \leq z \leq \frac{27 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}39;
\)
Таким образом:
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{27 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}11;
\)
Следовательно:
\(
\frac{27 — \mu}{\sigma} = 0{,}28;
\)
Теперь подставим выражение для \( \mu \):
\(
27 — 10 — 0{,}64 \sigma = 0{,}28 \sigma;
\)
Упрощая это уравнение, получаем:
\(
0{,}92 \sigma = 17;
\)
Отсюда находим стандартное отклонение:
\(
\sigma = \frac{17}{0{,}92} \approx 18{,}47;
\)
Теперь подставим значение \( \sigma \) в уравнение для \( \mu \):
\(
\mu = 10 + 18{,}47 \times 0{,}64 = 21{,}82;
\)

Ответ:
\(
M(x) = 21{,}82; \quad \sigma(x) = 18{,}47.
\)