ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 41.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Монету подбросили 5000 раз. Оцените, с какой вероятностью частота выпадения герба находится в диапазоне от 48 до 52 %.

Случайная величина \( x \) имеет биноминальное распределение:

\(
n = 5000, \quad p = \frac{1}{2};
\)

1) Значения параметров:
\(
\mu = np = 2500;
\)
\(
\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{1250} = 35{,}36;
\)

2) Найдём вероятность:
\(
P(5000 \cdot 0{,}48 \leq x \leq 5000 \cdot 0{,}52) =
\)
\(
= P(2400 \leq 35{,}36z + 2500 \leq 2600) =
\)
\(
= P(-100 \leq 35{,}36z \leq 100) =
\)
\(
= P(-2{,}83 \leq z \leq 2{,}83) =
\)
\(
= P(0 \leq z \leq 2{,}83) + P(0 \leq z \leq 2{,}83) =
\)
\(
= 0{,}49767 + 0{,}49767 = 0{,}99534;
\)

Ответ: 99,5%.

Случайная величина \( x \) имеет биноминальное распределение:

\(
n = 5000, \quad p = \frac{1}{2};
\)

1) Значения параметров:
\(
\mu = np = 2500;
\)
\(
\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{5000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1250} = 35{,}36;
\)

2) Найдём вероятность:
Рассмотрим интервал значений:
\(
P(5000 \cdot 0{,}48 \leq x \leq 5000 \cdot 0{,}52) =
\)
Это можно записать как:
\(
= P(2400 \leq x \leq 2600) =
\)
Теперь выразим \( x \) через нормальную величину \( z \):
\(
= P(2400 \leq 35{,}36z + 2500 \leq 2600) =
\)
Вычтем 2500 из всех частей неравенства:
\(
= P(-100 \leq 35{,}36z \leq 100) =
\)
Теперь разделим на \( 35{,}36 \):
\(
= P\left(-\frac{100}{35{,}36} \leq z \leq \frac{100}{35{,}36}\right) =
\)
Это упрощается до:
\(
= P(-2{,}83 \leq z \leq 2{,}83) =
\)
Используя симметрию нормального распределения, можем записать:
\(
= P(0 \leq z \leq 2{,}83) + P(0 \leq z \leq 2{,}83) =
\)
Таким образом:
\(
= 2P(0 \leq z \leq 2{,}83) =
\)
По таблице значений стандартного нормального распределения получаем:
\(
= 0{,}49767 + 0{,}49767 = 0{,}99534;
\)

Ответ: 99,5%.