ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 41.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что 65 % всех сдающих международный тест по английскому языку получают сертификаты. Какой минимальный балл нужно набрать для получения сертификата, если средний балл сдающих тест составляет 165 со стандартным отклонением 13?

Случайная величина \( x \) имеет нормальное распределение:
\(
\mu = 165, \quad \sigma = 13;
\)

\(
P(x \geq a) = 65\%;
\)
\(
P(13z + 165 \geq a) = 0{,}65;
\)
\(
P\left(z \geq \frac{a — 165}{13}\right) = 0{,}65;
\)
\(
0{,}5 + P\left(0 \leq z \leq \frac{165 — a}{13}\right) = 0{,}65;
\)
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{165 — a}{13}\right) = 0{,}15;
\)
\(
\frac{165 — a}{13} = 0{,}39;
\)
\(
165 — a = 5{,}07;
\)
\(
a = 159{,}93;
\)

Ответ: 160.

Случайная величина \( x \) имеет нормальное распределение:
\(
\mu = 165, \quad \sigma = 13;
\)

Мы хотим найти значение \( a \), при котором вероятность того, что \( x \) больше или равно \( a \), составляет 65%:
\(
P(x \geq a) = 65\%;
\)
Это можно записать как:
\(
P(13z + 165 \geq a) = 0{,}65;
\)
Теперь выразим \( z \):
\(
P\left(z \geq \frac{a — 165}{13}\right) = 0{,}65;
\)
Используем свойства нормального распределения:
\(
0{,}5 + P\left(0 \leq z \leq \frac{165 — a}{13}\right) = 0{,}65;
\)
Отсюда следует:
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{165 — a}{13}\right) = 0{,}15;
\)
Теперь подставим значение:
\(
\frac{165 — a}{13} = 0{,}39;
\)
Умножим обе стороны на 13:
\(
165 — a = 5{,}07;
\)
Теперь выразим \( a \):
\(
a = 165 — 5{,}07 = 159{,}93;
\)

Ответ: 160.