ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 41.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Автомат штампует металлические круглые шайбы для велосипедов. Шайбу можно использовать, если её радиус лежит в диапазоне от 1,98 до 2,03 см. Оцените математическое ожидание и стандартное отклонение радиуса шайб, произведённых этим автоматом, если известно, что 3 % шайб оказываются слишком маленькими, а 2 % — слишком большими.

Случайная величина \( x \) имеет нормальное распределение:

1)
\(
P(x \leq 1{,}98) = 3\%;
\)
\(
P(\sigma z + \mu \leq 1{,}98) = 0{,}03;
\)
\(
P\left(z \leq \frac{1{,}98 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}03;
\)
\(
0{,}5 — P\left(0 \leq z \leq \frac{\mu — 1{,}98}{\sigma}\right) = 0{,}03;
\)
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{\mu — 1{,}98}{\sigma}\right) = 0{,}47;
\)
\(
\frac{\mu — 1{,}98}{\sigma} = 1{,}88;
\)
\(
\mu — 1{,}98 = 1{,}88 \sigma;
\)
\(
\mu = 1{,}98 + 1{,}88 \sigma;
\)

2)
\(
P(x \geq 2{,}03) = 2\%;
\)
\(
P(\sigma z + \mu \geq 2{,}03) = 0{,}02;
\)
\(
P\left(z \geq \frac{2{,}03 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}02;
\)
\(
0{,}5 — P\left(0 \leq z \leq \frac{2{,}03 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}02;
\)
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{2{,}03 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}48;
\)
\(
\frac{2{,}03 — \mu}{\sigma} = 2{,}05;
\)
\(
2{,}03 — 1{,}98 — 1{,}88 \sigma = 2{,}05 \sigma;
\)
\(
3{,}93 \sigma = 0{,}05, \quad \sigma = 0{,}0127;
\)
\(
\mu = 1{,}98 + 1{,}88 \cdot 0{,}0127 = 2{,}004;
\)

Ответ:
\(
\mu = 2{,}004 \text{ см}; \quad \sigma = 0{,}0127.
\)

Случайная величина \( x \) имеет нормальное распределение:

1)
Мы начинаем с нахождения вероятности:
\(
P(x \leq 1{,}98) = 3\%;
\)
Это можно записать как:
\(
P(\sigma z + \mu \leq 1{,}98) = 0{,}03;
\)
Теперь выразим \( z \):
\(
P\left(z \leq \frac{1{,}98 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}03;
\)
Используя свойства нормального распределения, можем записать:
\(
0{,}5 — P\left(0 \leq z \leq \frac{\mu — 1{,}98}{\sigma}\right) = 0{,}03;
\)
Следовательно:
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{\mu — 1{,}98}{\sigma}\right) = 0{,}47;
\)
Теперь запишем уравнение:
\(
\frac{\mu — 1{,}98}{\sigma} = 1{,}88;
\)
Из этого уравнения получаем:
\(
\mu — 1{,}98 = 1{,}88 \sigma;
\)
Следовательно:
\(
\mu = 1{,}98 + 1{,}88 \sigma;
\)

2)
Теперь мы ищем вероятность:
\(
P(x \geq 2{,}03) = 2\%;
\)
Это можно записать как:
\(
P(\sigma z + \mu \geq 2{,}03) = 0{,}02;
\)
Теперь выразим \( z \):
\(
P\left(z \geq \frac{2{,}03 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}02;
\)
Используя свойства нормального распределения:
\(
0{,}5 — P\left(0 \leq z \leq \frac{2{,}03 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}02;
\)
Следовательно:
\(
P\left(0 \leq z \leq \frac{2{,}03 — \mu}{\sigma}\right) = 0{,}48;
\)
Теперь подставим значение:
\(
\frac{2{,}03 — \mu}{\sigma} = 2{,}05;
\)
Запишем уравнение:
\(
2{,}03 — 1{,}98 — 1{,}88 \sigma = 2{,}05 \sigma;
\)
Упростим его:
\(
3{,}93 \sigma = 0{,}05;
\)
Отсюда находим \( \sigma \):
\(
\sigma = 0{,}0127;
\)
Теперь подставим значение \( \sigma \) в уравнение для \( \mu \):
\(
\mu = 1{,}98 + 1{,}88 \cdot 0{,}0127 = 2{,}004;
\)

Ответ:
\(
\mu = 2{,}004 \text{ см}; \quad \sigma = 0{,}0127.
\)