ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 42.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

К началу учебного года Сергей купил себе подарок — новый мобильный телефон. Что больше: вероятность того, что он сломается в первый месяц эксплуатации, или вероятность того, что первая поломка случится в феврале следующего года?

Случайная величина \( x \) имеет показательное распределение:

\(
P(0 \leq x \leq 30) > P(k + 28 \leq x \leq k);
\)

\(
\int_0^{30} a e^{-a x} \, dx > \int_k^{k+28} a e^{-a x} \, dx;
\)

\(
f'(x) = -a^2 e^{-a x} < 0;
\)

Ответ: в первый месяц.

Случайная величина \( x \) имеет показательное распределение. Рассмотрим неравенство:

\(
P(0 \leq x \leq 30) > P(k + 28 \leq x \leq k);
\)

Это неравенство можно выразить через интегралы:

\(
\int_0^{30} a e^{-a x} \, dx > \int_k^{k+28} a e^{-a x} \, dx;
\)

Здесь \( a \) — параметр показательного распределения, а \( e^{-a x} \) — функция плотности вероятности.

Теперь вычислим первый интеграл:

\(
\int_0^{30} a e^{-a x} \, dx = \left[-e^{-a x}\right]_0^{30} = -e^{-30a} + 1 = 1 — e^{-30a};
\)

Теперь вычислим второй интеграл:

\(
\int_k^{k+28} a e^{-a x} \, dx = \left[-e^{-a x}\right]_k^{k+28} = -e^{-a(k+28)} + e^{-ak} = e^{-ak} (1 — e^{-28a});
\)

Теперь подставим результаты интегралов в неравенство:

\(
1 — e^{-30a} > e^{-ak} (1 — e^{-28a});
\)

Для функции плотности вероятности \( f(x) = a e^{-a x} \) производная будет:

\(
f'(x) = -a^2 e^{-a x};
\)

Так как \( f'(x) < 0 \), это означает, что функция убывает.

Таким образом, ответ: в первый месяц.