ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 42.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Наборщик текста печатает со скоростью 200 знаков в минуту. Вероятность того, что за минуту работы он не сделает ни одной опечатки, равна 70 %. Используя: 1) геометрическое; 2) показательное распределение, найдите вероятность того, что наборщик правильно напечатает текст длиной 640 знаков.

Случайная величина \( x \) имеет показательное распределение:
\( p = 0{,}7, \quad n = 200; \)

1) Геометрическое распределение:
\(
P = p^{\frac{640}{200}} = 0{,}7^{3{,}2} = 0{,}319 \approx 31{,}9\%;
\)

2) Показательное распределение:
\(
P = \int_0^1 a e^{-a x} dx = -e^{-a x} \Big|_0^1 = 0{,}3;
\)

\(
-e^{-a} + e^0 = 0{,}3; \quad e^{-a} = 0{,}7, \quad a = 0{,}36;
\)

\(
P = 1 — \int_0^{\frac{640}{200}} 0{,}36 e^{-1{,}2 x} dx =
\)

\(
= 1 — \left(-e^{-0{,}36 x}\right) \Big|_0^{3{,}2} = 1 + e^{-1{,}152} — e^0 = 0{,}316 \approx 31{,}6\%;
\)

Ответ: 31,9%.

Случайная величина \( x \) имеет показательное распределение:
\( p = 0{,}7, \quad n = 200; \)

1) Геометрическое распределение:
Вероятность успеха в геометрическом распределении определяется как:
\(
P = p^{\frac{640}{200}} = 0{,}7^{3{,}2} = 0{,}319 \approx 31{,}9\%;
\)

2) Показательное распределение:
Рассмотрим вероятность для показательного распределения:
\(
P = \int_0^1 a e^{-a x} dx;
\)
Мы можем вычислить этот интеграл с помощью метода подстановки. Результат будет:
\(
= -e^{-a x} \Big|_0^1 = -e^{-a} + e^0 = 0{,}3;
\)

Теперь решим уравнение:
\(
-e^{-a} + 1 = 0{,}3;
\)
Отсюда получаем:
\(
e^{-a} = 0{,}7 \quad \Rightarrow \quad a = -\ln(0{,}7) \approx 0{,}3567 \approx 0{,}36;
\)

Теперь найдем вероятность для интервала:
\(
P = 1 — \int_0^{\frac{640}{200}} 0{,}36 e^{-1{,}2 x} dx;
\)

Вычислим интеграл:
\(
= 1 — \left(-e^{-0{,}36 x}\right) \Big|_0^{3{,}2};
\)
Подставим пределы интегрирования:
\(
= 1 + e^{-1{,}152} — e^0;
\)
Таким образом, результат будет:
\(
= 0{,}316 \approx 31{,}6\%;
\)

Ответ: 31,9%.