ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 42.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пусть случайная величина \( x \) имеет показательное распределение. Докажите, что случайная величина \( y = \lfloor x \rfloor \), где \( \lfloor x \rfloor \) — целая часть \( x \), имеет геометрическое распределение.

Случайная величина \( x \) имеет показательное распределение:
\( y = \lfloor x \rfloor \);

\(
P(y = k) = \int_k^{k+1} a e^{-a x} dx = — e^{-a x} \Big|_k^{k+1} =
\)

\(
= — e^{-a(k+1)} + e^{-a k} = e^{-a k} \cdot (1 — e^{-a});
\)

Что и требовалось доказать.

Случайная величина \( x \) имеет показательное распределение, что означает, что ее функция плотности вероятности задается следующим образом:
\(
f(x) = a e^{-a x}, \quad x \geq 0;
\)

где \( a \) — параметр распределения.

Рассмотрим случайную величину \( y = \lfloor x \rfloor \), где \( \lfloor x \rfloor \) — целая часть \( x \). Мы хотим найти вероятность того, что \( y \) принимает значение \( k \):
\(
P(y = k) = P(k \leq x < k+1);
\)

Для этого используем интеграл функции плотности вероятности:
\(
P(y = k) = \int_k^{k+1} f(x) \, dx = \int_k^{k+1} a e^{-a x} \, dx;
\)

Вычислим интеграл:
\(
= — e^{-a x} \Big|_k^{k+1};
\)

Теперь подставим пределы интегрирования:
\(
= — e^{-a(k+1)} + e^{-a k};
\)

Упрощаем выражение:
\(
= e^{-a k} — e^{-a(k+1)} = e^{-a k} (1 — e^{-a});
\)

Таким образом, мы получили:
\(
P(y = k) = e^{-a k} (1 — e^{-a});
\)

Это выражение соответствует формуле для геометрического распределения, где вероятность успеха равна \( 1 — e^{-a} \).

Что и требовалось доказать.