ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 42.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Менеджеру по продажам телевизоров клиенты в среднем звонят каждые 4 мин в течение всего рабочего дня, а менеджеру по продажам стиральных машин — каждые 6 мин. Второй менеджер ушёл в отпуск, и его телефон поставили первому менеджеру, который теперь отвечает па все звонки. Найдите вероятность того, что менеджеру придётся ответить на звонок уже в первую минуту рабочего дня.

Случайная величина \( x \) имеет показательное распределение:
\(
\frac{1}{a_1} = 4, \quad \frac{1}{a_2} = 6;
\)

\(
P = 1 — P(x > 1, y > 1) = 1 — P(x > 1) P(y > 1) =
\)

\(
= 1 — (1 — P(x < 1)) (1 — P(y < 1)) =
\)

\(
= 1 — \left(1 — \int_0^1 \frac{1}{4} e^{-\frac{1}{4} x} dx \right) \left(1 — \int_0^1 \frac{1}{6} e^{-\frac{1}{6} x} dx \right) =
\)

\(
= 1 — \left(1 — \left(- e^{-\frac{1}{4} x}\right) \Big|_0^1 \right) \left(1 — \left(- e^{-\frac{1}{6} x}\right) \Big|_0^1 \right) =
\)

\(
= 1 — \left(1 — \left(- e^{-\frac{1}{4}} + e^0 \right) \right) \left(1 — \left(- e^{-\frac{1}{6}} + e^0 \right) \right) = 34\%;
\)

Ответ: 34%.

Случайная величина \( x \) имеет показательное распределение, где параметры определяются следующим образом:
\(
\frac{1}{a_1} = 4 \quad \Rightarrow \quad a_1 = \frac{1}{4};
\)
\(
\frac{1}{a_2} = 6 \quad \Rightarrow \quad a_2 = \frac{1}{6};
\)

Мы хотим найти вероятность \( P \), что хотя бы одна из случайных величин \( x \) или \( y \) меньше или равна 1:
\(
P = 1 — P(x > 1, y > 1);
\)

Используя независимость случайных величин, можем записать:
\(
P(x > 1, y > 1) = P(x > 1) P(y > 1);
\)

Таким образом, вероятность можно выразить как:
\(
P = 1 — P(x > 1) P(y > 1) =
\)

Теперь найдем \( P(x > 1) \):
\(
P(x > 1) = 1 — P(x < 1);
\)

Аналогично для \( y \):
\(
P(y > 1) = 1 — P(y < 1);
\)

Таким образом, мы можем записать:
\(
P = 1 — (1 — P(x < 1)) (1 — P(y < 1)) =
\)

Теперь вычислим \( P(x < 1) \):
\(
P(x < 1) = \int_0^1 \frac{1}{4} e^{-\frac{1}{4} x} dx;
\)

Вычисляем интеграл:
\(
= — e^{-\frac{1}{4} x} \Big|_0^1 =
\)

Подставляем пределы:
\(
= — e^{-\frac{1}{4}} + e^0 = 1 — e^{-\frac{1}{4}};
\)

Аналогично для \( P(y < 1) \):
\(
P(y < 1) = \int_0^1 \frac{1}{6} e^{-\frac{1}{6} x} dx =
\)

Вычисляем интеграл:
\(
= — e^{-\frac{1}{6} x} \Big|_0^1 =
\)

Подставляем пределы:
\(
= — e^{-\frac{1}{6}} + e^0 = 1 — e^{-\frac{1}{6}};
\)

Теперь подставим эти результаты в выражение для \( P \):
\(
P = 1 — \left(1 — (1 — e^{-\frac{1}{4}})\right) \left(1 — (1 — e^{-\frac{1}{6}})\right) =
\)

Упрощаем:
\(
= 1 — \left(e^{-\frac{1}{4}}\right) \left(e^{-\frac{1}{6}}\right) =
\)

В результате получаем:
\(
= 34\%;
\)

Ответ: 34%.