ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 42.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вероятность того, что в течение часа в аптеку зайдёт ровно 5 покупателей, в 1,2 раза больше вероятности того, что зайдёт ровно 4 покупателя. Оцените вероятность того, что очередного покупателя придётся ждать больше 20 мин.

Случайная величина \( x \) имеет распределение Пуассона:
\(
P(x = 5) = 1{,}2 P(x = 4);
\)

\(
\frac{\lambda^5}{5!} e^{-\lambda} = 1{,}2 \cdot \frac{\lambda^4}{4!} e^{-\lambda};
\)

\(
\frac{\lambda \cdot \lambda^4}{5 \cdot 4!} = 1{,}2 \cdot \frac{\lambda^4}{4!};
\)

\(
\frac{\lambda}{5} = 1{,}2, \quad \lambda = 6;
\)

Показательное распределение:
\(
P = 1 — \int_0^3 6 e^{-6x} dx = 1 — \left(- e^{-6x}\right) \Big|_0^3 = 1 + e^{-18} — e^0 = 0{,}135335 \approx 13{,}5\%;
\)

Ответ: 13,5%.

Случайная величина \( x \) имеет распределение Пуассона, что означает, что вероятность того, что \( x \) примет значение \( k \), задается формулой:
\(
P(x = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},
\)
где \( \lambda \) — параметр распределения.

В данном случае нам известно, что:
\(
P(x = 5) = 1{,}2 P(x = 4);
\)

Подставим формулы для вероятностей:
\(
\frac{\lambda^5}{5!} e^{-\lambda} = 1{,}2 \cdot \frac{\lambda^4}{4!} e^{-\lambda};
\)

Так как \( e^{-\lambda} \) в обеих частях уравнения сокращается, мы получаем:
\(
\frac{\lambda^5}{5!} = 1{,}2 \cdot \frac{\lambda^4}{4!};
\)

Теперь можно упростить левую часть:
\(
\frac{\lambda^5}{5 \cdot 4!} = 1{,}2 \cdot \frac{\lambda^4}{4!};
\)

Сократим \( \frac{\lambda^4}{4!} \) с обеих сторон:
\(
\frac{\lambda}{5} = 1{,}2;
\)

Теперь умножим обе стороны на 5:
\(
\lambda = 6;
\)

Теперь найдем вероятность для показательного распределения. Вероятность того, что случайная величина \( x \) меньше или равна 3, можно выразить как:
\(
P = 1 — P(x > 3);
\)

Для показательного распределения:
\(
P(x > 3) = \int_3^{\infty} 6 e^{-6x} dx;
\)

Однако мы можем использовать свойство интегралов:
\(
P(x > 3) = 1 — \int_0^3 6 e^{-6x} dx;
\)

Теперь вычислим интеграл:
\(
= 1 — \left(- e^{-6x}\right) \Big|_0^3;
\)

Подставляем пределы интегрирования:
\(
= 1 — \left(- e^{-18} + e^{0}\right);
\)

Упрощаем:
\(
= 1 + e^{-18} — 1 = e^{-18};
\)

Таким образом, вероятность составляет:
\(
P = 1 — e^{-18} \approx 0{,}135335 \approx 13{,}5\%;
\)

Ответ: 13,5%.