ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 43.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чтобы сварить компот, мама поручила Малышу добавить в кипяток поллитровую банку варенья с вишнями. Однако Карлсон заявил, что он лучший в мире эксперт по компотам, и принялся варить компот сам. Когда из приготовленной Карлсоном двухлитровой кастрюли компота Малыш наполнил стакан объёмом 200 мл, то в нём оказались только 2 вишенки. Есть ли у Малыша весомые основания заподозрить Карлсона, что тот съел часть варенья, если в банке было 70 вишенок?

Рассматривают число вишень:
\(p = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1, \quad n = 70, \quad N = 2;\)

1) Значения параметров:
\(\mu = pn = 7;\)
\(\sigma = \sqrt{pnq} = \sqrt{6{,}3} = 2{,}51;\)

2) Вероятность такого:
\(
P(x \leq 2) = P(2{,}51z + 7 \leq 2) = P(2{,}51z \leq -5) = P(z \leq -1{,}99) =
\)
\(
= 0{,}5 — P(0 \leq z \leq 1{,}99) = 0{,}5 — 0{,}47670 = 0{,}0233
\)
\(
\approx 2{,}3\%;
\)

Ответ: да.

Рассматривают число вишень, где вероятность появления вишни \( p = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1 \), количество испытаний \( n = 70 \), и количество вишен \( N = 2 \).

1) Рассчитаем значения параметров. Среднее значение (математическое ожидание) рассчитывается по формуле:
\(
\mu = p \cdot n = 0{,}1 \cdot 70 = 7.
\)
Дисперсия \( \sigma^2 \) рассчитывается по формуле:
\(
\sigma^2 = p \cdot n \cdot q,
\)
где \( q = 1 — p = 0{,}9 \). Таким образом, получаем:
\(
\sigma^2 = 70 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9 = 6{,}3.
\)
Следовательно, стандартное отклонение \( \sigma \) будет равно:
\(
\sigma = \sqrt{6{,}3} \approx 2{,}51.
\)

2) Теперь вычислим вероятность того, что количество вишен будет меньше или равно 2. Для этого используем нормальное приближение:
\(
P(x \leq 2) = P(2{,}51z + 7 \leq 2) = P(2{,}51z \leq -5).
\)
Переписываем это в виде:
\(
P(z \leq -1{,}99) = 0{,}5 — P(0 \leq z \leq 1{,}99).
\)
Затем находим значение:
\(
P(0 \leq z \leq 1{,}99) = 0{,}47670.
\)
Таким образом, окончательная вероятность будет равна:
\(
P(x \leq 2) = 0{,}5 — 0{,}47670 = 0{,}0233 \approx 2{,}3\%.
\)

Ответ: да.