ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \) на отрезке \( [\frac{1}{9}; 3] \).

2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \lg x \) на отрезке \( [1; 1000] \).

1) \( y = \log_{1/3} x, \quad \left[\frac{1}{9}; 3\right] \);

Функция убывает:
\( y_{\text{наим}} = y(3) = \log_{1/3} 3 = -1; \)
\( y_{\text{наиб}} = y\left(\frac{1}{9}\right) = \log_{1/3} \frac{1}{9} = 2; \)

Ответ: \( 2; -1. \)

2) \( y = \lg x, \quad [1; 1000] \);

Функция возрастает:
\( y_{\text{наим}} = y(1) = \lg 1 = 0; \)
\( y_{\text{наиб}} = y(1000) = \lg 1000 = 3; \)

Ответ: \( 3; 0. \)

Наибольшее и наименьшее значения:

1) \( y = \log_{1/3} x, \quad \left[\frac{1}{9}; 3\right] \).

Функция убывает, так как основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \).
Для нахождения наименьшего значения функции:
\(
y_{\text{наим}} = y(3) = \log_{1/3} 3 = -1.
\)
Для нахождения наибольшего значения функции:
\(
y_{\text{наиб}} = y\left(\frac{1}{9}\right) = \log_{1/3} \frac{1}{9} = 2.
\)
Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 2 \), а наименьшее значение равно \( -1 \).

Ответ: \( 2; -1. \)

2) \( y = \lg x, \quad [1; 1000] \).

Функция возрастает, так как основание логарифма \( 10 > 1 \).
Для нахождения наименьшего значения функции:
\(
y_{\text{наим}} = y(1) = \lg 1 = 0.
\)
Для нахождения наибольшего значения функции:
\(
y_{\text{наиб}} = y(1000) = \lg 1000 = 3.
\)
Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 3 \), а наименьшее значение равно \( 0 \).

Ответ: \( 3; 0. \)