ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

На каком промежутке наибольшее значение функции \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \) равно \(-1\), а наименьшее равно \(-2\)?

Дана логарифмическая функция:
\( y = \log_{\frac{1}{2}} x \);

1) Наибольшее значение:
\( y(x) = \log_{\frac{1}{2}} x = -1 \);
\( x = 2 \);

2) Наименьшее значение:
\( y(x) = \log_{\frac{1}{2}} x = -2 \);
\( x = 4 \);

Ответ: \( [2; 4] \).

Дана логарифмическая функция:

\( y = \log_{\frac{1}{2}} x \).

Рассмотрим условия задачи.

1) Наибольшее значение функции достигается при \( y(x) = \log_{\frac{1}{2}} x = -1 \). Согласно свойству логарифмической функции, аргумент \( x \) находится из равенства:

\(
\log_{\frac{1}{2}} x = -1.
\)

Используя определение логарифма, получаем:

\(
x = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1}.
\)

Вычисляем значение \( x \):

\(
x = 2.
\)

Таким образом, наибольшее значение функции \( y \) равно \( -1 \), и оно достигается при \( x = 2 \).

2) Наименьшее значение функции достигается при \( y(x) = \log_{\frac{1}{2}} x = -2 \). Аналогично, аргумент \( x \) находится из равенства:

\(
\log_{\frac{1}{2}} x = -2.
\)

Используя определение логарифма, получаем:

\(
x = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2}.
\)

Вычисляем значение \( x \):

\(
x = 4.
\)

Таким образом, наименьшее значение функции \( y \) равно \( -2 \), и оно достигается при \( x = 4 \).

Ответ: промежуток, на котором функция принимает значения от \( -2 \) до \( -1 \), равен:

\(
[2; 4].
\)