ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите область определения функции:}
\)

1. \( f(x) = \log_3 (x+1) \)
2. \( f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^2+1) \)
3. \( f(x) = \log_4 (-x) \)
4. \( f(x) = \lg x^2 \)
5. \( f(x) = \log_5 (x^2 + x + 1) \)
6. \( f(x) = \log_{0.6} (5x — 6 — x^2) \)
7. \( f(x) = 2 \lg x + 3 \lg (2 — x) \)
8. \( f(x) = \log_2 \left( \frac{2x — 3}{x + 7} \right) \).

1) \( f(x) = \log_3(x+1); \)
Область определения: \( x+1 > 0, x > -1; \)
Ответ: \( D(x) = (-1; +\infty). \)

2) \( f(x) = \log_{1/2}(x^2+1); \)
Область определения: \( x^2+1 > 0, x \in \mathbb{R}; \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; +\infty). \)

3) \( f(x) = \log_4(-x); \)
Область определения: \( -x > 0, x < 0; \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; 0). \)

4) \( f(x) = \lg x^2; \)
Область определения: \( x^2 > 0, x \neq 0; \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty). \)

5) \( f(x) = \log_5(x^2+x+1); \)
Область определения: \( x^2+x+1 > 0. \)
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3; \)
\( D < 0 \) и \( a > 0 \), значит \( x \in \mathbb{R}; \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; +\infty). \)

6) \( f(x) = \log_{0.6}(5x-6-x^2); \)
Область определения: \( 5x-6-x^2 > 0; \)
\( x^2 — 5x + 6 < 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \) тогда:
\( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3; \)
\( (x-2)(x-3) < 0; \quad 2 < x < 3; \)
Ответ: \( D(x) = (2; 3). \)

7) \( f(x) = 2\lg x + 3\lg(2-x); \)
Область определения: \( x > 0, \quad 2-x > 0; \quad 0 < x < 2; \)
Ответ: \( D(x) = (0; 2). \)

8) \( f(x) = \log_2\left(\frac{2x-3}{x+7}\right); \)
Область определения:
\( \frac{2x-3}{x+7} > 0; \)
\( x+7 \neq 0; \quad x > \frac{3}{2}; \quad x < -7; \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; -7) \cup (1.5; +\infty). \)

1) \( f(x) = \log_3(x+1) \)
Область определения функции задается условием существования логарифма, то есть аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
x+1 > 0 — x > -1
\)
Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (-1; +\infty)
\)

2) \( f(x) = \log_{1/2}(x^2+1) \)
Аналогично, аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
x^2+1 > 0
\)
Так как \( x^2+1 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), область определения:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty)
\)

3) \( f(x) = \log_4(-x) \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
-x > 0 — x < 0
\)
Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (-\infty; 0)
\)

4) \( f(x) = \lg x^2 \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
x^2 > 0
\)
Это условие выполняется для всех \( x \neq 0 \). Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)
\)

5) \( f(x) = \log_5(x^2+x+1) \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
x^2+x+1 > 0
\)
Рассмотрим дискриминант квадратного трёхчлена \( x^2+x+1 \):
\(
D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3
\)
Так как \( D < 0 \), квадратный трёхчлен не имеет действительных корней и всегда положителен, поскольку коэффициент при \( x^2 \) (\( a > 0 \)) положителен. Следовательно, область определения:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty)
\)

6) \( f(x) = \log_{0.6}(5x-6-x^2) \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
5x-6-x^2 > 0
\)
Преобразуем неравенство:
\(
x^2 — 5x + 6 < 0
\)
Рассчитаем дискриминант:
\(
D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1
\)
Найдём корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3
\)
Поскольку парабола направлена вверх (\( a > 0 \)), неравенство выполняется между корнями:
\(
2 < x < 3
\)
Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (2; 3)
\)

7) \( f(x) = 2\lg x + 3\lg(2-x) \)
Аргумент каждого логарифма должен быть положительным:
\(
x > 0, \quad 2-x > 0
\)
Из второго условия следует:
\(
x < 2
\)
Объединяя условия, получаем:
\(
0 < x < 2
\)
Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (0; 2)
\)

8) \( f(x) = \log_2\left(\frac{2x-3}{x+7}\right) \)
Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
\frac{2x-3}{x+7} > 0
\)
Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
\(
x+7 \neq 0 — x \neq -7
\)
Рассмотрим знак дроби: числитель \( 2x-3 > 0 — x > \frac{3}{2} \), знаменатель \( x+7 > 0 — x > -7 \). Для положительности дроби требуется, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковый знак. Это выполняется в двух случаях:
1. \( x < -7 \);
2. \( x > \frac{3}{2} \).

Таким образом, область определения:
\(
D(x) = (-\infty; -7) \cup (1.5; +\infty)
\)