ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите область определения функции:}
\)

1. \( f(x) = \log_7 (6 — x) \)
2. \( f(x) = \log_{12} |x| \)
3. \( f(x) = \lg (x^2 — 1) \)
4. \( f(x) = \log_{0.4} (7x — x^2) \)
5. \( f(x) = \lg (x + 2) — 2 \lg (x + 5) \)
6. \( f(x) = \lg \left( \frac{2x + 1}{x — 1} \right) \).

1. \( f(x) = \log_7 (6 — x) \)
Область определения: \( 6 — x > 0, \, x < 6 \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; 6) \)

2. \( f(x) = \log_{12} |x| \)
Область определения: \( |x| > 0, \, x \neq 0 \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)

3. \( f(x) = \lg (x^2 — 1) \)
Область определения: \( (x + 1)(x — 1) > 0 \), то есть \( x < -1, \, x > 1 \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \)

4) \( f(x) = \log_{0.4}(7x — x^2) \);
Область определения:
\( 7x — x^2 > 0 \);
\( x^2 — 7x < 0 \);
\( x(x — 7) < 0 \);
\( 0 < x < 7 \);
Ответ: \( D(x) = (0; 7) \).

5) \( f(x) = \lg(x + 2) — 2 \lg(x + 5) \);
Область определения:
\( x + 2 > 0 \), \( x + 5 > 0 \);
\( x > -2 \), \( x > -5 \);
Ответ: \( D(x) = (-2; +\infty) \).

6) \( f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x — 1} \);
Область определения:
\( 2x + 1 > 0 \);
\( x — 1 > 0 \);
\( x > -\frac{1}{2} \), \( x > 1 \);
Ответ: \( D(x) = (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \).

1. \( f(x) = \log_7 (6 — x) \)
Область определения:
\(
6 — x > 0, \quad x < 6
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; 6)
\)

2. \( f(x) = \log_{12} |x| \)
Область определения:
\(
|x| > 0, \quad x \neq 0
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)
\)

3. \( f(x) = \lg (x^2 — 1) \)
Область определения:
\(
x^2 — 1 > 0, \quad (x + 1)(x — 1) > 0
\)
Решаем неравенство:
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)
\)

4. \( f(x) = \log_{0.4}(7x — x^2) \)
Область определения:
\(
7x — x^2 > 0
\)
Рассмотрим неравенство:
\(
x^2 — 7x < 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 7) < 0
\)
Из произведения двух множителей вытекает:
\(
0 < x < 7
\)
Ответ:
\(
D(x) = (0; 7)
\)

5. \( f(x) = \lg(x + 2) — 2 \lg(x + 5) \)
Область определения:
\(
x + 2 > 0, \quad x + 5 > 0
\)
Решаем каждое неравенство:
\(
x > -2, \quad x > -5
\)
Объединяя условия, получаем:
\(
x > -2
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-2; +\infty)
\)

6. \( f(x) = \lg \frac{2x + 1}{x — 1} \)
Область определения:
\(
\frac{2x + 1}{x — 1} > 0
\)
Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:
\(
2x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{2}
\)
\(
x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\)
Объединяя условия, учитываем области, где дробь положительна:
\(
x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)
\)