ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Постройте на одной координатной плоскости графики функций }
\)
\(
y = \log_2 x \text{ и } y = \log_2 \left( \frac{1}{x} \right).
\)
\(
\text{Каково взаимное расположение построенных графиков?}
\)

Давайте построим графики функций \( y = \log_2 x \) и \( y = \log_2 \left( \frac{1}{x} \right) \).

1) Для функции \( y = \log_2 x \):

\(
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y = \log_2 x \\
\hline
1 & 0 \\
2 & 1 \\
4 & 2 \\
\hline
\end{array}
\)

2) Для функции \( y = \log_2 \left( \frac{1}{x} \right) \):

\(
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y = \log_2 \left( \frac{1}{x} \right) \\
\hline
1 & 0 \\
2 & -1 \\
4 & -2 \\
\hline
\end{array}
\)

Ответ:

Графики функций симметричны относительно оси \( O_x \), так как \( y = \log_2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\log_2 x \).

Построить графики функций:

\( y = \log_2 x \), \( y = \log_2 \frac{1}{x} \)

1) \( y = \log_2 x \):

2) \( y = \log_2 \frac{1}{x} \):

Ответ:

Графики симметричны относительно оси \( Ox \).

Дополнительное объяснение:

Функция \( y = \log_2 x \) описывает рост значения логарифма при увеличении \( x \). Когда \( x \) увеличивается, значение \( y \) также увеличивается. Например, при \( x = 1 \), \( y = 0 \); при \( x = 2 \), \( y = 1 \); при \( x = 4 \), \( y = 2 \).

Функция \( y = \log_2 \frac{1}{x} \) является противоположной функции \( y = \log_2 x \). Её значения равны отрицательным значениям функции \( y = \log_2 x \). Например, при \( x = 1 \), \( y = 0 \); при \( x = 2 \), \( y = -1 \); при \( x = 4 \), \( y = -2 \).

Таким образом, графики этих функций симметричны относительно оси \( Ox \), так как одна функция является отрицательной версией другой.