ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте на одной координатной плоскости графики функций \( y = \log_3 x \) и \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \). Каково взаимное расположение построенных графиков?

1) Для функции \( y = \log_3 x \):

\(
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
1 & 0 \\
3 & 1 \\
9 & 2 \\
\hline
\end{array}
\)

2) Для функции \( y = \log_{1/3} x \):

\(
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
1 & 0 \\
3 & -1 \\
9 & -2 \\
\hline
\end{array}
\)

3) Графики функций:

Ответ: графики функций симметричны относительно оси \( O_x \).

Построить графики функций:

\( y = \log_3 x \), \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \);

1) Для функции \( y = \log_3 x \):

Значения переменных представлены в таблице:

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 1 & 3 & 9 \\
\hline
y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
\end{array}
\)

Эта функция является возрастающей, так как её основание (\( 3 \)) больше единицы.

2) Для функции \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \):

Значения переменных представлены в таблице:

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 1 & 3 & 9 \\
\hline
y & 0 & -1 & -2 \\
\hline
\end{array}
\)

Эта функция является убывающей, так как её основание (\( \frac{1}{3} \)) меньше единицы.

3) Графики функций:

График функции \( y = \log_3 x \) расположен выше оси \( O_x \), и он является возрастающим. График функции \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \) расположен ниже оси \( O_x \), и он является убывающим. Эти графики симметричны относительно оси \( O_x \), поскольку изменение основания логарифма между значением больше единицы (\( 3 \)) и меньше единицы (\( \frac{1}{3} \)) приводит к зеркальному отражению графика относительно горизонтальной оси.