ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( f(x) = \frac{1}{\lg x} \)

2) \( f(x) = \frac{4}{\log_5 (10 — x)} \)

3) \( f(x) = \log_2 (\cos x) \)

4) \( f(x) = \log_3 (\tan x) \)

1) \( f(x) = \lg x \)
Область определения: \( \lg x \neq 0, x > 0; x \neq 1, x > 0 \);
Ответ: \( D(x) = (0; 1) \cup (1; +\infty) \).

2) \( f(x) = \log_5(10 — x) \)
Область определения: \( \log_5(10 — x) \neq 0, 10 — x > 0; 10 — x \neq 1, x < 10; x \neq 9, x < 10 \);
Ответ: \( D(x) = (-\infty; 9) \cup (9; 10) \).

3) \( f(x) = \log_2(\cos x) \)
Область определения:
\( \cos x > 0; \frac{-\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \);
Ответ: \( D(x) = \left(\frac{-\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n\right) \).

4) \( f(x) = \log_3(\tan x) \)
Область определения:
\( \tan x > 0 \);
Ответ: \( D(x) = (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n) \).

найти область определения функции:

1) \( f(x) = \lg x \)
область определения: логарифм определен только для положительных чисел, поэтому \( x > 0 \). кроме того, выражение \( \lg x \neq 0 \) означает, что \( x \neq 1 \), так как \( \lg 1 = 0 \). итоговая область определения: \( D(x) = (0; 1) \cup (1; +\infty) \).

2) \( f(x) = \log_5(10 — x) \)
область определения: логарифм определен только для положительных чисел, поэтому \( 10 — x > 0 \), что эквивалентно \( x < 10 \). кроме того, выражение \( \log_5(10 — x) \neq 0 \) означает, что \( 10 — x \neq 1 \), то есть \( x \neq 9 \). итоговая область определения: \( D(x) = (-\infty; 9) \cup (9; 10) \).

3) \( f(x) = \log_2(\cos x) \)
область определения: логарифм определен только для положительных чисел, поэтому \( \cos x > 0 \). косинус положителен в интервалах \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). итоговая область определения: \( D(x) = \left(\frac{-\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi n\right) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

4) \( f(x) = \log_3(\tan x) \)
область определения: логарифм определен только для положительных чисел, поэтому \( \tan x > 0 \). тангенс положителен в интервалах \( \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). итоговая область определения: \( D(x) = (\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).