ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = \frac{5}{\lg (x+3)} \)

2) \( y = \lg (\sin(x)) \)

1) \( f(x) = \lg(x+3) \)
Область определения:
\( \lg(x+3) \leq 0, x+3 > 0; x+3 \neq 1, x > -3; x \neq -2, x > -3; \)
Ответ: \( D(x) = (-3; -2) \cup (-2; +\infty) \).

2) \( f(x) = \lg(\sin x) \);
Область определения:
\( \sin x > 0; \)
\( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n; \)
Ответ: \( D(x) = (2\pi n; \pi + 2\pi n) \).

1) Для функции \( f(x) = \lg(x+3) \):

Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому \( x+3 > 0 \), что даёт \( x > -3 \).

Кроме того, логарифм не определён для значения аргумента, равного \( 1 \), так как \( \lg(1) = 0 \), а знаменатель дроби становится равным нулю. Это условие даёт \( x+3 \neq 1 \), то есть \( x \neq -2 \).

Таким образом, область определения функции состоит из двух условий:
\(
x > -3, \quad x \neq -2
\)

Объединяя эти условия, получаем:
\(
D(x) = (-3; -2) \cup (-2; +\infty)
\)

2) Для функции \( f(x) = \lg(\sin x) \):

Логарифм определён только для положительных значений аргумента, поэтому \( \sin x > 0 \).

Функция синуса положительна на интервалах \( (2\pi n; \pi + 2\pi n) \), где \( n \in \mathbb{Z} \) — целое число.

Таким образом, область определения функции записывается как:
\(
D(x) = (2\pi n; \pi + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}
\)