ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравнить значения:

1) \(\log_{12} 5\) и \(\log_{12} 6;\)
2) \(\log_{5} \frac{1}{2}\) и \(\log_{5} \frac{1}{3};\)
3) \(\log_{\frac{1}{3}} 2\) и \(\log_{\frac{1}{3}} 4;\)
4) \(\log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5}\) и \(\log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6};\)
5) \(\log_{\frac{\pi}{2}} 0.7\) и \(\log_{\frac{\pi}{2}} 0.6;\)
6) \(\log_{\frac{2\pi}{5}} 8.4\) и \(\log_{\frac{2\pi}{5}} 8.3.\)

1) \( \log_{12} 5 \) и \( \log_{12} 6 \);
\( 12 > 1, \, 5 < 6 \);
Ответ: \( \log_{12} 5 < \log_{12} 6 \).

2) \( \log_{5} \left( \frac{1}{2} \right) \) и \( \log_{5} \left( \frac{1}{3} \right) \);
Ответ: \( \log_{5} \left( \frac{1}{2} \right) > \log_{5} \left( \frac{1}{3} \right) \).

3) \( \log_{\frac{1}{3}} 2 \) и \( \log_{\frac{1}{3}} 4 \);
Ответ: \( \log_{\frac{1}{3}} 2 > \log_{\frac{1}{3}} 4 \).

4) \(\log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5}\) и \(\log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6};\)
\(0 < \frac{1}{9} < 1,\) \(\frac{4}{5} < \frac{5}{6};\)
Ответ: \(\log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6}.\)

5) \(\log_{\frac{\pi}{2}} 0,7\) и \(\log_{\frac{\pi}{2}} 0,6;\)
\(\frac{\pi}{2} > 1,\) \(0,7 > 0,6;\)
Ответ: \(\log_{\frac{\pi}{2}} 0,7 > \log_{\frac{\pi}{2}} 0,6.\)

6) \(\log_{\frac{2\pi}{5}} 8,4\) и \(\log_{\frac{2\pi}{5}} 8,3;\)
\(\frac{2\pi}{5} > 1,\) \(8,4 > 8,3;\)
Ответ: \(\log_{\frac{2\pi}{5}} 8,4 > \log_{\frac{2\pi}{5}} 8,3.\)

1) Рассмотрим \( \log_{12} 5 \) и \( \log_{12} 6 \). Поскольку основание логарифма \( 12 > 1 \) и \( 5 < 6 \), мы можем использовать свойство монотонности логарифмов. Это свойство гласит, что если основание логарифма больше 1, то логарифм большего числа больше логарифма меньшего числа. Следовательно:

\(
\log_{12} 5 < \log_{12} 6.
\)

2) Теперь рассмотрим \( \log_{5} \left( \frac{1}{2} \right) \) и \( \log_{5} \left( \frac{1}{3} \right) \). Здесь основание логарифма \( 5 > 1 \) и мы сравниваем дроби, где \( \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \). Поскольку основание больше 1, то:

\(
\log_{5} \left( \frac{1}{2} \right) > \log_{5} \left( \frac{1}{3} \right).
\)

3) Рассмотрим \( \log_{\frac{1}{3}} 2 \) и \( \log_{\frac{1}{3}} 4 \). В этом случае основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \) и мы сравниваем числа, где \( 2 < 4 \). Если основание меньше 1, то логарифм большего числа меньше логарифма меньшего числа:

\(
\log_{\frac{1}{3}} 2 > \log_{\frac{1}{3}} 4.
\)

4) Теперь рассмотрим \( \log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5} \) и \( \log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6} \). Здесь основание логарифма \( \frac{1}{9} < 1 \), а также \( \frac{4}{5} < \frac{5}{6} \). По аналогии с предыдущим примером:

\(
\log_{\frac{1}{9}} \frac{4}{5} > \log_{\frac{1}{9}} \frac{5}{6}.
\)

5) Теперь рассмотрим \( \log_{\frac{\pi}{2}} 0,7 \) и \( \log_{\frac{\pi}{2}} 0,6 \). Здесь основание логарифма \( \frac{\pi}{2} > 1 \), а также \( 0,7 > 0,6 \). Поэтому:

\(
\log_{\frac{\pi}{2}} 0,7 > \log_{\frac{\pi}{2}} 0,6.
\)

6) Наконец, рассмотрим \( \log_{\frac{2\pi}{5}} 8,4 \) и \( \log_{\frac{2\pi}{5}} 8,3 \). Основание логарифма \( \frac{2\pi}{5} > 1 \), а также \( 8,4 > 8,3 \). Следовательно:

\(
\log_{\frac{2\pi}{5}} 8,4 > \log_{\frac{2\pi}{5}} 8,3.
\)