ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните \( \log_2 3 + \log_3 2 \) и \( 2 \).

1) Верно равенство:
\( 2 > 1, \, 3 > 2, \, \log_2 3 > 1 \);

2) Преобразуем сумму:
\( \log_2 3 + \log_3 2 = \log_2 3 + \frac{1}{\log_2 3} — 2 + 2 = \)

\( = \frac{\log^2_2 3 — 2 \log_2 3 + 1}{\log_2 3} + 2 = \frac{(\log_2 3 — 1)^2}{\log_2 3} + 2; \)

Ответ: \( \log_2 3 + \log_3 2 > 2. \)

1) Верно равенство:

\(
2 > 1, \quad 3 > 2, \quad \log_2 3 > 1
\)

Объяснение:
— \( 2 > 1 \) очевидно, так как \( 2 \) больше \( 1 \).
— \( 3 > 2 \) также очевидно, так как \( 3 \) больше \( 2 \).
— \( \log_2 3 > 1 \): это следует из определения логарифма. Поскольку \( 2^1 = 2 \), а \( 3 > 2 \), то \( \log_2 3 > 1 \).

2) Преобразуем сумму:

Начальное выражение:
\(
\log_2 3 + \log_3 2
\)

Используем свойство логарифма \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \), чтобы преобразовать \( \log_3 2 \):
\(
\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}
\)

Подставляем это в исходное выражение:
\(
\log_2 3 + \log_3 2 = \log_2 3 + \frac{1}{\log_2 3}
\)

Упростим выражение:
Добавляем и вычитаем \( 2 \):
\(
\log_2 3 + \frac{1}{\log_2 3} = \log_2 3 + \frac{1}{\log_2 3} — 2 + 2
\)

Группируем части:
\(
\log_2 3 + \frac{1}{\log_2 3} — 2 + 2 = \frac{\log^2_2 3 — 2 \log_2 3 + 1}{\log_2 3} + 2
\)

Объяснение:
— Числитель \( \log^2_2 3 — 2 \log_2 3 + 1 \) получается из разложения суммы в дробь.
— Знаменатель остаётся \( \log_2 3 \).

Далее преобразуем числитель:
Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат:
\(
\log^2_2 3 — 2 \log_2 3 + 1 = (\log_2 3 — 1)^2
\)

Подставляем это обратно:
\(
\frac{\log^2_2 3 — 2 \log_2 3 + 1}{\log_2 3} + 2 = \frac{(\log_2 3 — 1)^2}{\log_2 3} + 2
\)

Теперь сравниваем итоговое выражение с числом \( 2 \):

Поскольку \( (\log_2 3 — 1)^2 / \log_2 3 > 0 \), то добавление этого положительного значения к \( 2 \) даёт результат больше \( 2 \).

Таким образом, окончательный вывод:
\(
\log_2 3 + \log_3 2 > 2
\)