ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что

\(
\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \left(\frac{1}{3}\right) < -2
\)

1) Верно равенство:
\(
\frac{1}{3} < 1, \quad 4 > 3, \quad \log_{\frac{1}{3}} 4 < -1;
\)

2) Преобразуем сумму:
\(
\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{3}} 4 + \frac{1}{\log_{4} 4} — 2 + 2 =
\frac{\log^2_{\frac{1}{3}} 4 + 2 \log_{\frac{1}{3}} 4 + 1}{\log_{\frac{1}{3}} 4} — 2 =
\)
\(
=\frac{(\log_{\frac{1}{3}} 4 + 1)^2}{\log_{\frac{1}{3}} 4} — 2;
\)

Что и требовалось доказать.

Докажите, что:
\(
\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} < -2;
\)

1) Верно равенство:
\(
\frac{1}{3} < 1, \quad 4 > 3, \quad \log_{\frac{1}{3}} 4 < -1;
\)

Объяснение:
— Основание логарифма \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому логарифмическая функция убывает.
— Число 4 больше числа 3, следовательно, \(\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{3}} 3\).
— Учитывая свойства логарифмов с основанием меньше единицы, значение \(\log_{\frac{1}{3}} 4\) будет отрицательным и меньше \(-1\).

2) Преобразуем сумму:
Начнем с выражения:
\(
\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3}.
\)

Используем свойство логарифмов:
\(
\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}.
\)

Тогда:
\(
\log_{4} \frac{1}{3} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}} 4}.
\)

Подставляем это в исходное выражение:
\(
\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} = \log_{\frac{1}{3}} 4 + \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}} 4}.
\)

Добавим и вычтем \(2\):
\(
\log_{\frac{1}{3}} 4 + \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}} 4} — 2 + 2.
\)

Объединим это выражение в одну дробь:
\(
\frac{\log^2_{\frac{1}{3}} 4 + 2 \log_{\frac{1}{3}} 4 + 1}{\log_{\frac{1}{3}} 4} — 2.
\)

Обратим внимание, что числитель можно представить как полный квадрат:
\(
(\log_{\frac{1}{3}} 4 + 1)^2.
\)

Тогда:
\(
\frac{(\log_{\frac{1}{3}} 4 + 1)^2}{\log_{\frac{1}{3}} 4} — 2.
\)

Таким образом, доказано, что:
\(
\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} < -2.
\)

Что и требовалось доказать.