ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1.
\(
y = \frac{1}{\lg(x^2 + 1)}
\)

2.
\(
y = \lg(1 + \sin x)
\)

3.
\(
y = \sqrt{\lg(1 + x^2)}
\)

4.
\(
y = \sqrt{\lg(\sin x)}
\)

5.
\(
y = \lg(x + 8) — \frac{5}{\lg(-x — 1)}
\)

6.
\(
y = \lg(10x — x^2) — \frac{1}{\lg(8 — x)}
\)

7.
\(
y = \frac{x}{\lg(4 — x^2)}
\)

8.
\(
y = \lg(9x — x^2) — \frac{1}{\lg(5 — x)}
\)

9.
\(
y = \log_{2 — x}(8 + 7x — x^2)
\)

10.
\(
y = \sqrt{\frac{(x + 5)(2 — x)}{\lg(x^2 + 1)}}
\)

1) \( y = \frac{1}{\lg(x^2 + 1)} \)
Область определения:
\(
\lg(x^2 + 1) \neq 0; \quad x^2 + 1 \neq 1, \quad x^2 + 1 > 0; \quad x^2 \neq 0, \quad x^2 > -1; \quad x \neq 0,
\)
\(
\quad x \in \mathbb{R};
\)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \).

2) \( y = \lg(1 + \sin x) \)
Область определения:
\(
1 + \sin x > 0; \quad \sin x > -1; \quad x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)
Ответ: \( D(x) = \{ \mathbb{R} \mid x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \} \).

3) \( y = \sqrt{\lg(1 + x^2)} \)
Область определения:
\(
\lg(1 + x^2) \geq 0; \quad x^2 \geq 0; \quad x \in \mathbb{R};
\)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \).

4) \( y = \sqrt{\lg \sin x} \);
Область определения:
\(
\lg \sin x \geq 0; \quad \sin x \geq 1; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;
\)
Ответ: \( D(x) = \left\{ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right\}. \)

5) \( y = \lg(x + 8) — \frac{5}{\lg(-x — 1)} \);
Область определения:
\(
x + 8 > 0, \quad \lg(-x — 1) \neq 0; \quad x > -8, \quad -x — 1 \neq 1, \quad -x — 1 > 0;
\)
\(
\quad x > -8, \quad x \neq -2, \quad x < -1;
\)
Ответ: \( D(x) = (-8; -2) \cup (-2; -1). \)

6) \( y = \lg(10x — x^2) — \frac{1}{\lg(8 — x)} \);
Область определения:
\(
10x — x^2 > 0, \quad \lg(8 — x) \neq 0; \quad x(x — 10) < 0, \quad 8 — x \neq 1, \quad 8 — x > 0;
\)
\(
\quad 0 < x < 10, \quad x \neq 7, \quad x < 8;
\)
Ответ: \( D(x) = (0; 7) \cup (7; 8). \)

7) \( y = \frac{x}{\lg(4 — x^2)} \);
Область определения:
\(
\lg(4 — x^2) \neq 0; \quad 4 — x^2 \neq 1, \quad 4 — x^2 > 0; \quad x^2 \neq 3, \quad (x + 2)(x — 2) < 0;
\)
\(
\quad x \neq \pm \sqrt{3}, \quad -2 < x < 2;
\)
Ответ: \( D(x) = (-2; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2). \)

8) \( y = \lg(9x — x^2) — \frac{1}{\lg(5 — x)} \);
Область определения:
\(
9x — x^2 > 0, \quad \lg(5 — x) \neq 0; \quad x(x — 9) < 0, \quad 5 — x \neq 1, \quad 5 — x > 0;
\)
\(
\quad 0 < x < 9, \quad x \neq 4, \quad x < 5;
\)
Ответ: \( D(x) = (0; 4) \cup (4; 5). \)

9) \( y = \log_2{-x}(8 + 7x — x^2) \);
Область определения:
\(
8 + 7x — x^2 > 0, \quad 2 — x \neq 1, \quad 2 — x > 0; \quad x^2 — 7x — 8 < 0;
\)
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8;
\)
\(
(x + 1)(x — 8) < 0; \quad -1 < x < 8, \quad x \neq 1, \quad x < 2;
\)
Ответ: \( D(x) = (-1; 1) \cup (1; 2). \)

10) \( y = \frac{(x + 5)(2 — x)}{\lg(x^2 + 1)} \);
Область определения:
\(
(x + 5)(2 — x) \geq 0, \quad \lg(x^2 + 1) > 0; \quad (x + 5)(x — 2) \leq 0, \quad x^2 + 1 > 1;
\)
\(
-5 \leq x \leq 2, \quad x \geq 0, \quad x \neq 0;
\)
Ответ: \( D(x) = [-5; 0) \cup (0; 2]. \)

1) \( y = \frac{1}{\lg(x^2 + 1)} \)
Область определения:
Функция определена, если выражение в знаменателе \(\lg(x^2 + 1)\) не равно нулю. Кроме того, логарифм существует только для положительных аргументов.
1. \( \lg(x^2 + 1) \neq 0 \):
\(
x^2 + 1 \neq 10^0 = 1.
\)
Следовательно:
\(
x^2 \neq 0.
\)
2. \( x^2 + 1 > 0 \):
Это условие выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).
3. Таким образом, \( x \neq 0 \).
Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).
\)

2) \( y = \lg(1 + \sin x) \)
Область определения:
Функция определена, если аргумент логарифма положителен:
1. \( 1 + \sin x > 0 \):
\(
\sin x > -1.
\)
Это условие выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).
2. Однако логарифм не определён, если его аргумент равен 1:
\(
1 + \sin x = 1 — \sin x = 0.
\)
Следовательно, \( x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ответ:
\(
D(x) = \{ \mathbb{R} \mid x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \}.
\)

3) \( y = \sqrt{\lg(1 + x^2)} \)
Область определения:
Функция определена, если выражение под корнем неотрицательно:
1. \( \lg(1 + x^2) \geq 0 \):
\(
1 + x^2 \geq 1 — x^2 \geq 0.
\)
Это условие выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Ответ:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

4) \( y = \sqrt{\lg \sin x} \)
Область определения:
Функция определена, если выражение под корнем неотрицательно:
1. \( \lg \sin x \geq 0 \):
\(
\sin x \geq 10^0 = 1.
\)
Поскольку \( \sin x \leq 1 \), это возможно только при \( \sin x = 1 \).
2. \( \sin x = 1 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ответ:
\(
D(x) = \left\{ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right\}.
\)

5) \( y = \lg(x + 8) — \frac{5}{\lg(-x — 1)} \)
Область определения:
Функция определена, если оба логарифма существуют и знаменатель второго выражения не равен нулю:
1. \( x + 8 > 0 \):
\(
x > -8.
\)
2. \( \lg(-x — 1) \neq 0 \):
\(
-x — 1 \neq 10^0 = 1 — -x \neq 2 — x \neq -2.
\)
3. \( -x — 1 > 0 \):
\(
x < -1.
\)
Объединяя условия:
\(
x > -8, \quad x \neq -2, \quad x < -1.
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-8; -2) \cup (-2; -1).
\)

6) \( y = \lg(10x — x^2) — \frac{1}{\lg(8 — x)} \)
Область определения:
Функция определена, если оба логарифма существуют, а знаменатель второго выражения не равен нулю:
1. \( 10x — x^2 > 0 \):
\(
x(10 — x) > 0 — x \in (0; 10).
\)
2. \( \lg(8 — x) \neq 0 \):
\(
8 — x \neq 10^0 = 1 — x \neq 7.
\)
3. \( 8 — x > 0 \):
\(
x < 8.
\)
Объединяя условия:
\(
x \in (0; 10), \quad x \neq 7, \quad x < 8.
\)
Ответ:
\(
D(x) = (0; 7) \cup (7; 8).
\)

7) \( y = \frac{x}{\lg(4 — x^2)} \)
Область определения:
Функция определена, если логарифм существует и не равен нулю:
1. \( \lg(4 — x^2) \neq 0 \):
\(
4 — x^2 \neq 10^0 = 1 — x^2 \neq 3.
\)
2. \( 4 — x^2 > 0 \):
\(
x^2 < 4 — x \in (-2; 2).
\)
Объединяя условия:
\(
x \in (-2; 2), \quad x \neq \pm \sqrt{3}.
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-2; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; 2).
\)

8) \( y = \lg(9x — x^2) — \frac{1}{\lg(5 — x)} \)
Область определения:
Функция определена, если оба логарифма существуют, а знаменатель второго выражения не равен нулю:
1. \( 9x — x^2 > 0 \):
\(
x(9 — x) > 0 — x \in (0; 9).
\)
2. \( \lg(5 — x) \neq 0 \):
\(
5 — x \neq 10^0 = 1 — x \neq 4.
\)
3. \( 5 — x > 0 \):
\(
x < 5.
\)
Объединяя условия:
\(
x \in (0; 9), \quad x \neq 4, \quad x < 5.
\)
Ответ:
\(
D(x) = (0; 4) \cup (4; 5).
\)

9) \( y = \log_2{-x}(8 + 7x — x^2) \)
Область определения:
Функция определена, если аргумент логарифма положителен:
1. \( 8 + 7x — x^2 > 0 \):
Решим квадратное неравенство:
\(
x^2 — 7x — 8 < 0.
\)
Найдём корни квадратного уравнения:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81.
\)
\(
x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8.
\)
\(
(x + 1)(x — 8) < 0 — x \in (-1; 8).
\)
2. \( 2 — x > 0 \):
\(
x < 2.
\)
3. \( 2 — x \neq 1 \):
\(
x \neq 1.
\)
Объединяя условия:
\(
x \in (-1; 8), \quad x < 2, \quad x \neq 1.
\)
Ответ:
\(
D(x) = (-1; 1) \cup (1; 2).
\)

10) \( y = \frac{(x + 5)(2 — x)}{\lg(x^2 + 1)} \)
Область определения:
Функция определена, если числитель и знаменатель существуют, а знаменатель не равен нулю:
1. \( (x + 5)(2 — x) \geq 0 \):
Решим двойное неравенство:
\(
x \in [-5; 2].
\)
2. \( \lg(x^2 + 1) > 0 \):
\(
x^2 + 1 > 1 — x^2 > 0 — x \neq 0.
\)
Объединяя условия:
\(
x \in [-5; 2], \quad x \neq 0.
\)
Ответ:
\(
D(x) = [-5; 0) \cup (0; 2].
\)