ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Постройте график функции:}
\)
1) \( y = |\log_3 x|; \)
2) \( y = \log_3 |x|; \)
3) \( y = \frac{\log_2 x}{(\log_2 x)^2}. \)

1)
\( y = |\log_3 x|; \)

Если \(x \geq 1\), тогда:
\( y = \log_3 x; \)

Если \(0 < x < 1\), тогда:
\( y = — \log_3 x; \)

График функции:

2)
\( y = \log_3 |x|; \)

Если \(x > 0\), тогда:
\( y = \log_3 x; \)

Если \(x < 0\), тогда:
\( y = \log_3 (-x); \)

График функции:

3)
\( y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{\log_2^2 x}} = \frac{\log_2 x}{|\log_2 x|}; \)

Если \(x > 1\), тогда:
\( y = \frac{\log_2 x}{\log_2 x} = 1; \)

Если \(0 < x < 1\), тогда:
\( y = \frac{\log_2 x}{-\log_2 x} = -1; \)

График функции:

1) Рассмотрим функцию
\( y = |\log_3 x|; \)

— Если \( x \geq 1 \), то логарифм будет неотрицательным, и мы можем записать:
\(
y = \log_3 x.
\)
В этом случае функция возрастает, так как логарифм увеличивается с увеличением \( x \).

— Если \( 0 < x < 1 \), то логарифм будет отрицательным, и мы можем записать:
\(
y = -\log_3 x.
\)
Это означает, что функция будет возрастать от значения \( y = 0 \) (при \( x = 1 \)) до бесконечности, когда \( x \) стремится к 0.

График функции будет иметь две части: одну, которая растет от нуля для \( x \geq 1 \), и другую, которая также растет от нуля до бесконечности для \( 0 < x < 1 \).

2) Рассмотрим функцию
\( y = \log_3 |x|; \)

— Если \( x > 0 \), тогда:
\(
y = \log_3 x.
\)
В этом случае функция ведет себя как стандартный логарифм, который возрастает при увеличении \( x \).

— Если \( x < 0 \), тогда:
\(
y = \log_3 (-x).
\)
Здесь мы рассматриваем логарифм от положительного числа \( -x \). Эта часть функции также будет возрастать, но она отражает значение логарифма для отрицательных \( x \).

График функции будет симметричен относительно оси \( y \) для положительных и отрицательных значений \( x \), так как логарифм от положительного числа и логарифм от его отрицательного значения имеют одинаковые значения.

3) Рассмотрим функцию
\( y = \frac{\log_2 x}{\sqrt{\log_2^2 x}} = \frac{\log_2 x}{|\log_2 x|}; \)

— Если \( x > 1 \), тогда:
\(
y = \frac{\log_2 x}{\log_2 x} = 1.
\)
В этом случае функция принимает значение 1 для всех \( x > 1 \).

— Если \( 0 < x < 1 \), тогда:
\(
y = \frac{\log_2 x}{-\log_2 x} = -1.
\)
Здесь функция принимает значение -1 для всех \( x \) в этом интервале.

График функции будет представлять собой две горизонтальные линии: одна на уровне \( y = 1 \) для \( x > 1 \) и другая на уровне \( y = -1 \) для \( 0 < x < 1 \). При этом функция не определена для \( x \leq 0 \), так как логарифм не существует для нуля и отрицательных чисел.