ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение функции:

1. \( y = \log_{0.1}(x^2 + 100) \),
2. \( y = \log_{\frac{1}{5}}(x^2 — 6x + 14). \)

1) \( y = \log_{0.1}(x^2 + 100); \)
Функция убывает:
\( x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{0}{2 \cdot 1} = 0; \)
\( t = 0^2 + 100 = 100; \)
\( y_{\text{наиб}} = y(0) = \log_{0.1} 100 = -2; \)
Ответ: \(-2.\)

2) \( y = \log_{\frac{1}{5}}(x^2 — 6x + 14); \)
Функция убывает:
\( x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 1} = 3; \)
\( t = 3^2 — 6 \cdot 3 + 14 = 5; \)
\( y_{\text{наиб}} = y(3) = \log_{\frac{1}{5}} 5 = -1; \)
Ответ: \(-1.\)

Найти наибольшее значение:

1) Рассмотрим функцию
\( y = \log_{0.1}(x^2 + 100). \)
Так как основание логарифма \( 0.1 \) меньше единицы (\( 0 < 0.1 < 1 \)), функция \( y \) убывает на всей области определения.

Найдем вершину параболы \( x^2 + 100 \), так как это квадратичная функция. Координата вершины определяется формулой:
\( x_0 = \frac{-b}{2a}. \)
Здесь \( a = 1 \), \( b = 0 \). Подставим значения:
\( x_0 = \frac{-0}{2 \cdot 1} = 0. \)
Подставим \( x_0 = 0 \) в выражение \( x^2 + 100 \):
\( t = 0^2 + 100 = 100. \)
Теперь вычислим значение функции \( y \) в точке \( x_0 = 0 \):
\( y_{\text{наиб}} = y(0) = \log_{0.1}(100). \)
Вспомним, что \( \log_{a}(b) = c \), если \( a^c = b \). В данном случае:
\( 0.1^{-2} = 100, \)
следовательно,
\( \log_{0.1}(100) = -2. \)
Итак, наибольшее значение функции:
\( y_{\text{наиб}} = -2. \)
Ответ:
\( -2. \)

2) Рассмотрим функцию
\( y = \log_{\frac{1}{5}}(x^2 — 6x + 14). \)
Так как основание логарифма \( \frac{1}{5} \) меньше единицы (\( 0 < \frac{1}{5} < 1 \)), функция \( y \) убывает на всей области определения.

Найдем вершину параболы \( x^2 — 6x + 14 \), так как это квадратичная функция. Координата вершины определяется формулой:
\( x_0 = \frac{-b}{2a}. \)
Здесь \( a = 1 \), \( b = -6 \). Подставим значения:
\( x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3. \)
Подставим \( x_0 = 3 \) в выражение \( x^2 — 6x + 14 \):
\( t = 3^2 — 6 \cdot 3 + 14. \)
Выполним вычисления:
\( t = 9 — 18 + 14 = 5. \)
Теперь вычислим значение функции \( y \) в точке \( x_0 = 3 \):
\( y_{\text{наиб}} = y(3) = \log_{\frac{1}{5}}(5). \)
Вспомним, что \( \log_{a}(b) = c \), если \( a^c = b \). В данном случае:
\( \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5, \)
следовательно,
\( \log_{\frac{1}{5}}(5) = -1. \)
Итак, наибольшее значение функции:
\( y_{\text{наиб}} = -1. \)
Ответ:
\( -1. \)