ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение функции:

1) \( y = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{x^2 + 8} \right); \)

2) \( y = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{x^2 — 4x + 7} \right). \)

Найти наименьшее значение:
1) \( y = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{x^2 + 8} \right); \)
\( y = \log_{2}(x^2 + 8); \)
Функция возрастает:
\( x_0 = -\frac{b}{2a}; \)
\( x_0 = 0; \)
\( t = 0^2 + 8 = 8; \)
\( y_{\text{min}} = y(0) = \log_{2}(8) = 3; \)
Ответ: \( 3. \)

2) \( y = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{x^2 — 4x + 7} \right); \)
\( y = \log_{3}(x^2 — 4x + 7); \)
Функция возрастает:
\( x_0 = -\frac{b}{2a}; \)
\( x_0 = 2; \)
\( t = 2^2 — 4 \cdot 2 + 7 = 3; \)
\( y_{\text{min}} = y(2) = \log_{3}(3) = 1; \)
Ответ: \( 1. \)

1) \( y = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{x^2 + 8} \right) \).

Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
\(
y = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{x^2 + 8} \right) = -\log_{2}(x^2 + 8).
\)

Так как логарифм с основанием \( 2 \) функции \( x^2 + 8 \) возрастает, то \( -\log_{2}(x^2 + 8) \) убывает. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при минимальном значении \( x^2 + 8 \).

Минимальное значение \( x^2 + 8 \) достигается при \( x = 0 \), так как \( x^2 \) принимает минимальное значение \( 0 \) при \( x = 0 \). Подставляем:
\(
t = x^2 + 8 = 0^2 + 8 = 8.
\)

Находим значение функции:
\(
y_{\text{min}} = -\log_{2}(8).
\)

Поскольку \( \log_{2}(8) = 3 \), то:
\(
y_{\text{min}} = 3.
\)

Ответ: \( 3 \).

2) \( y = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{x^2 — 4x + 7} \right) \).

Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
\(
y = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{x^2 — 4x + 7} \right) = -\log_{3}(x^2 — 4x + 7).
\)

Так как логарифм с основанием \( 3 \) функции \( x^2 — 4x + 7 \) возрастает, то \( -\log_{3}(x^2 — 4x + 7) \) убывает. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при минимальном значении \( x^2 — 4x + 7 \).

Исследуем квадратичную функцию \( x^2 — 4x + 7 \). Найдем вершину параболы, используя формулу:
\(
x_0 = -\frac{b}{2a}.
\)

Здесь \( a = 1 \), \( b = -4 \), поэтому:
\(
x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2.
\)

Подставляем \( x_0 = 2 \) в функцию:
\(
t = x^2 — 4x + 7 = 2^2 — 4 \cdot 2 + 7 = 4 — 8 + 7 = 3.
\)

Находим значение функции:
\(
y_{\text{min}} = -\log_{3}(3).
\)

Поскольку \( \log_{3}(3) = 1 \), то:
\(
y_{\text{min}} = 1.
\)

Ответ: \( 1 \).