ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию \( y = \lg \left( \sqrt{x^2 + 1} — x \right) \).

Исследовать на четность функцию:
\( y = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right) \)

1) Область определения:
\(
\sqrt{x^2 + 1} — x > 0;
\)
\(
\sqrt{x^2 + 1} > x;
\)
\(
x^2 + 1 > x^2;
\)
\(
1 > 0, \, x \in \mathbb{R};
\)
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

2) Исследуем на четность:
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{(-x)^2 + 1} — (-x)\right);
\)
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right);
\)
\(
y(-x) = -\lg \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x};
\)
\(
y(-x) = -\lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right);
\)
\(
y(-x) = -y(x).
\)

Ответ: функция является нечётной.

Исследовать на четность функцию:
\(
y = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right)
\)

1) Область определения:
Функция \( y = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right) \) определена, если выражение под логарифмом положительно, то есть:
\(
\sqrt{x^2 + 1} — x > 0
\)
Рассмотрим это условие:
\(
\sqrt{x^2 + 1} > x
\)
Возведем обе части неравенства в квадрат (так как подкоренное выражение всегда неотрицательно):
\(
x^2 + 1 > x^2
\)
Сократим \( x^2 \) в обеих частях:
\(
1 > 0
\)
Неравенство всегда выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \). Следовательно, область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty)
\)

2) Исследуем на четность:
Для проверки четности функции нужно рассмотреть \( y(-x) \) и сравнить его с \( y(x) \).

Найдем выражение для \( y(-x) \):
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{(-x)^2 + 1} — (-x)\right)
\)
Учитывая, что \( (-x)^2 = x^2 \), получаем:
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)
\)

Теперь сравним \( y(-x) \) с \( y(x) \):
\(
y(x) = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right)
\)

Попробуем выразить \( y(-x) \) через \( y(x) \). Заметим, что:
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)
\)
Используем свойство логарифмов:
\(
\lg(a + b) = -\lg \frac{1}{a + b}
\), тогда:
\(
y(-x) = -\lg \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}
\)

Также известно, что:
\(
-\lg \frac{1}{A} = -\lg(A)
\), поэтому:
\(
y(-x) = -\lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right)
\)

Следовательно:
\(
y(-x) = -y(x)
\)

Это означает, что функция является нечётной.

Ответ:
Функция \( y = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right) \) является нечётной.