ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию \( y = \lg(v(x^2 + 1) + x) \).

Исследовать на четность функцию:
\( y = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) \)

1) Область определения:
\(
\sqrt{x^2 + 1} + x > 0;
\)
\(
\sqrt{x^2 + 1} > -x;
\)
\(
x^2 + 1 > x^2;
\)
\(
1 > 0, \, x \in \mathbb{R};
\)
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

2) Исследуем на четность:
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{(-x)^2 + 1} + (-x)\right);
\)
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right);
\)
\(
y(-x) = -\lg \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} — x};
\)
\(
y(-x) = -\lg \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right);
\)
\(
y(-x) = -y(x).
\)

Ответ: функция является нечётной.

Исследуем на четность функцию:
\( y = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) \)

1) Область определения:

Функция определена тогда, когда выражение под логарифмом положительно, то есть:
\(
\sqrt{x^2 + 1} + x > 0.
\)

Преобразуем данное неравенство:
\(
\sqrt{x^2 + 1} > -x.
\)

Заметим, что \(\sqrt{x^2 + 1}\) всегда положительно, а \(-x\) может быть любым числом. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Также проверим, что:
\(
x^2 + 1 > x^2.
\)

Это очевидно, так как \(1 > 0\).

Таким образом, область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

2) Исследуем на четность:

Для проверки четности функции необходимо вычислить \(y(-x)\) и сравнить его с \(y(x)\).

Вычислим \(y(-x)\):
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{(-x)^2 + 1} + (-x)\right).
\)

Поскольку \((-x)^2 = x^2\), то:
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right).
\)

Теперь сравним \(y(-x)\) с \(y(x)\). Заметим, что:
\(
y(x) = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right).
\)

Для проверки четности функции нужно показать, что \(y(-x) = y(x)\). Для проверки нечётности функции нужно показать, что \(y(-x) = -y(x)\).

Продолжим вычисления:
\(
y(-x) = \lg \left(\sqrt{x^2 + 1} — x\right).
\)

Представим логарифм разности в виде отрицательного логарифма суммы:
\(
y(-x) = -\lg \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} — x}.
\)

Далее преобразуем это выражение:
\(
y(-x) = -\lg \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right).
\)

Таким образом:
\(
y(-x) = -y(x).
\)

Ответ:

Функция является нечётной.