ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значения параметра \( a \), при которых наибольшее значение функции

\(
f(x) = -4(\log_3 x)^2 + 20 \log_3 x — 9a^2
\)

на отрезке \([3; 27]\) является отрицательным числом.

Дана функция на отрезке \([3; 27]\):
\(
f(x) = -4 \log_3^2 x + 20 \log_3 x — 9a^2;
\)

1) Пусть \( t = \log_3 x \), тогда:
\(
\log_3 3 \leq \log_3 x \leq \log_3 27; \quad 1 \leq t \leq 3;
\)

2) Рассмотрим функцию:
\(
f(t) = -4t^2 + 20t — 9a^2, \quad 1 \leq t \leq 3;
\)
\(
t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-4)} = \frac{20}{-8} = -\frac{10}{4};
\)
\(
f_{\text{наиб}} = f\left(\frac{10}{4}\right) = -4 \cdot \frac{100}{16} + 20 \cdot \frac{10}{4} — 9a^2;
\)
\(
f_{\text{наиб}} = -25 + 50 — 9a^2 = 25 — 9a^2;
\)

3) Наибольшее значение:
\(
25 — 9a^2 < 0;
\)
\(
9a^2 — 25 > 0;
\)
\(
(3a + 5)(3a — 5) < 0;
\)
\(
a > -\frac{5}{3}; \quad a < \frac{5}{3}.
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; +\infty).
\)

Дана функция на отрезке \((3; 27)\):
\(
f(x) = -4 \log_3^2 x + 20 \log_3 x — 9a^2;
\)

1) Пусть \( t = \log_3 x \), тогда:
\(
\log_3 3 \leq \log_3 x \leq \log_3 27;
\)
\(
1 \leq t \leq 3.
\)

Подставим \( t = \log_3 x \) в функцию \( f(x) \), тогда функция преобразуется следующим образом:
\(
f(t) = -4t^2 + 20t — 9a^2, \, 1 \leq t \leq 3.
\)

2) Найдём вершину параболы \( f(t) \), используя формулу для нахождения координаты вершины:
\(
t_0 = -\frac{b}{2a},
\)
где \( a = -4 \), \( b = 20 \). Подставим значения:
\(
t_0 = -\frac{20}{2 \cdot (-4)} = -\frac{20}{-8} = \frac{20}{8} = \frac{10}{4} = 2.5.
\)

Вершина параболы \( t_0 = 2.5 \) лежит в интервале \([1; 3]\). Таким образом, наибольшее значение функции достигается в точке \( t_0 = 2.5 \).

Вычислим значение функции \( f(t) \) в точке \( t_0 = 2.5 \):
\(
f_{\text{наиб}} = f(2.5) = -4 \cdot (2.5)^2 + 20 \cdot 2.5 — 9a^2.
\)

Выполним вычисления:
\(
(2.5)^2 = 6.25,
\)
\(
-4 \cdot 6.25 = -25,
\)
\(
20 \cdot 2.5 = 50,
\)
\(
f_{\text{наиб}} = -25 + 50 — 9a^2 = 25 — 9a^2.
\)

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке равно:
\(
f_{\text{наиб}} = 25 — 9a^2.
\)

3) Условие задачи требует, чтобы наибольшее значение функции было отрицательным числом:
\(
25 — 9a^2 < 0.
\)

Решим данное неравенство:
\(
25 < 9a^2,
\)
\(
9a^2 > 25,
\)
\(
a^2 > \frac{25}{9},
\)
\(
a > \sqrt{\frac{25}{9}} \quad \text{или} \quad a < -\sqrt{\frac{25}{9}}.
\)

Выполним вычисления:
\(
\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}.
\)

Таким образом, решение неравенства:
\(
a \in (-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; +\infty).
\)

Ответ:
\(
a \in (-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; +\infty).
\)