ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните числа \( \log_2 3 \) и \( \log_3 7 \).

Сравнить числа: \( \log_2 3 \) и \( \log_3 7 \)

1) Умножим числа на три:
\( 3 \log_2 3 = \log_2 3^3 = \log_2 27 \)
\( 3 \log_3 7 = \log_3 7^3 = \log_3 343 \)

2) Выполняются равенства:
\( \log_2 27 < \log_2 32, \, \log_2 27 < 5 \)
\( \log_3 343 > \log_3 243, \, \log_3 343 > 5 \)

\( \log_2 27 < 5 < \log_3 343 \)
\( 3 \log_2 3 < 5 < 3 \log_3 7 \)

Ответ: \( \log_2 3 < \log_3 7 \)

Сравнить числа: \( \log_2 3 \) и \( \log_3 7 \)

1) Умножим числа на три:
Для удобства сравнения умножим оба логарифма на \( 3 \):
\(
3 \log_2 3 = \log_2 3^3 = \log_2 27
\)
\(
3 \log_3 7 = \log_3 7^3 = \log_3 343
\)

Теперь задача сводится к сравнению \( \log_2 27 \) и \( \log_3 343 \).

2) Выполняются равенства:
Рассмотрим \( \log_2 27 \). Известно, что:
\(
\log_2 27 < \log_2 32, \quad \text{так как } 27 < 32
\)
А также:
\(
\log_2 27 < 5, \quad \text{поскольку } \log_2 32 = 5
\)

Рассмотрим \( \log_3 343 \). Известно, что:
\(
\log_3 343 > \log_3 243, \quad \text{так как } 343 > 243
\)
А также:
\(
\log_3 343 > 5, \quad \text{поскольку } \log_3 243 = 5
\)

Таким образом, выполняются неравенства:
\(
\log_2 27 < 5 < \log_3 343
\)

Переходя обратно к исходным логарифмам:
\(
3 \log_2 3 < 5 < 3 \log_3 7
\)

Разделим обе части неравенства на \( 3 \):
\(
\log_2 3 < \frac{5}{3} < \log_3 7
\)

Ответ:
\(
\log_2 3 < \log_3 7
\)