ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 5.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) \( \log_a \left( \frac{2}{3} \right) > \log_a \left( \frac{1}{2} \right) \)

2) \( \log_a 2 < \log_a \sqrt{3} \)

Сравнить с единицей число \( a \):

1) \( \log_a \left( \frac{2}{3} \right) > \log_a \left( \frac{1}{2} \right) \).
Ответ: \( a > 1 \).

2) \( \log_a 2 < \log_a \sqrt{3} \).
Ответ: \( a < 1 \).

1) Рассмотрим неравенство:

\(
\log_a \left( \frac{2}{3} \right) > \log_a \left( \frac{1}{2} \right).
\)

По свойству логарифмов, если основание \( a > 1 \), то логарифмическая функция возрастает. Это означает, что если \( x > y \), то \( \log_a x > \log_a y \). В данном случае мы имеем:

\(
\frac{2}{3} > \frac{1}{2}.
\)

Это неравенство действительно, так как \( 2 \cdot 2 = 4 > 3 \). Следовательно, при условии, что \( a > 1 \), выполняется:

\(
\log_a \left( \frac{2}{3} \right) > \log_a \left( \frac{1}{2} \right).
\)

Таким образом, для данного неравенства необходимо, чтобы:

\(
a > 1.
\)

2) Теперь рассмотрим второе неравенство:

\(
\log_a 2 < \log_a \sqrt{3}.
\)

Здесь также применяем свойства логарифмов. Если основание \( a < 1 \), то логарифмическая функция убывает. Это означает, что если \( x < y \), то \( \log_a x > \log_a y \). В данном случае мы имеем:

\(
2 < \sqrt{3}.
\)

Это неравенство также выполняется, так как \( 2^2 = 4 < 3 \). Следовательно, при условии, что \( 0 < a < 1 \), выполняется:

\(
\log_a 2 < \log_a \sqrt{3}.
\)

Таким образом, для этого неравенства необходимо, чтобы:

\(
a < 1.
\)

В итоге мы пришли к следующим условиям для оснований логарифмов:

1. Для первого неравенства: \( a > 1 \).
2. Для второго неравенства: \( a < 1 \).