ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \log_2 (x-1) = 1; \\
2) & \quad \log_3 (2x+1) = 3; \\
3) & \quad \lg (3-2x) = 2; \\
4) & \quad \log_{(1/6)} (4x-8) = -2; \\
5) & \quad \log_7 (x^2-2x-8) = 1; \\
6) & \quad \log_{(1/2)} (x^2+4x-6) = -4.
\end{align*}
\)

1) \(\log_2(x-1) = 1 \); \(x-1 = 2 \); \(x = 3 \); Ответ: \(3\).
2) \(\log_3(2x+1) = 3 \); \(2x + 1 = 27 \); \(2x = 26 \); \(x = 13 \); Ответ: \(13\).
3) \(\lg(3-2x) = 2 \); \(3 — 2x = 100 \); \(2x = -97 \); \(x = -48.5 \); Ответ: \(-48.5\).
4) \(\log_{\frac{1}{6}}(4x — 8) = -2\);
\(4x — 8 = 36\); \(4x = 44\); \(x = 11\); Ответ: \(11\).
5) \(\log_7(x^2 — 2x — 8) = 1\);
\(x^2 — 2x — 8 = 7\); \(x^2 — 2x — 15 = 0\);
\(D = (-2)^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64\), тогда:
\(x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{64}}{2} = \frac{2 — 8}{2} = -3\),
\(x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5\);
Ответ: \(-3; 5\).
6) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x — 5) = -4\);
\(x^2 + 4x — 5 = 16\); \(x^2 + 4x — 21 = 0\);
\(D = (4)^2 — 4 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\), тогда:
\(x_1 = \frac{-4 — \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 — 10}{2} = -7\),
\(x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = 3\);
Ответ: \(-7; 3\).

1)
Уравнение:
\(\log_2(x-1) = 1\).

Преобразуем уравнение:
\(x-1 = 2^1\).

Решаем:
\(x-1 = 2\),
\(x = 3\).

Ответ: \(3\).

2)
Уравнение:
\(\log_3(2x+1) = 3\).

Преобразуем уравнение:
\(2x+1 = 3^3\).

Решаем:
\(2x+1 = 27\),
\(2x = 26\),
\(x = 13\).

Ответ: \(13\).

3)
Уравнение:
\(\lg(3-2x) = 2\).

Преобразуем уравнение:
\(3-2x = 10^2\).

Решаем:
\(3-2x = 100\),
\(2x = -97\),
\(x = -48.5\).

Ответ: \(-48.5\).

4)
Уравнение:
\(\log_{\frac{1}{6}}(4x-8) = -2\).

Преобразуем уравнение:
\(4x-8 = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2}\).

Решаем:
\(4x-8 = 36\),
\(4x = 44\),
\(x = 11\).

Ответ: \(11\).

5)
Уравнение:
\(\log_7(x^2 — 2x — 8) = 1\).

Преобразуем уравнение:
\(x^2 — 2x — 8 = 7^1\).

Решаем:
\(x^2 — 2x — 8 = 7\),
\(x^2 — 2x — 15 = 0\).

Находим дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15)\),
\(D = 4 + 60 = 64\).

Находим корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 8}{2} = -3\),
\(x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = 5\).

Ответ: \(-3; 5\).

6)
Уравнение:
\(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x — 5) = -4\).

Преобразуем уравнение:
\(x^2 + 4x — 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\).

Решаем:
\(x^2 + 4x — 5 = 16\),
\(x^2 + 4x — 21 = 0\).

Находим дискриминант:
\(D = (4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-21)\),
\(D = 16 + 84 = 100\).

Находим корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{-4 — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 — 10}{2} = -7\),
\(x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3\).

Ответ: \(-7; 3\).