ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Решите уравнение:}
\)

1) \(\frac{1}{2} \log_6 (5x+1) = \log_6 (x-1);\)

2) \(\log_5 (25^{x-2} \cdot 5^x) = 2 \log_{25} 15;\)

3) \(\log_{v5} (16^{x-6}) = 2 + \log_{v5} (4^{x-2});\)

4) \(x \lg 3 — 1 = 2 \lg 3 — \lg (3^x + 1).\)

1) \(-10g_6(5x+1) = \log_6(x-1);\)
\(\log_6 \sqrt{5x+1} = \log_6(x-1);\)
\(5x+1 = x^2 — 2x + 1;\)
\(x^2 — 7x = 0;\)
\(x(x-7) = 0;\)
\(x_1 = 0, x_2 = 7;\)
Область определения: \(x-1 > 0,\ x > 1;\)
Ответ: \(7.\)

2) \(\log_5 (25^x — 2 \cdot 5^x) = 2 \log_{25} 15;\)
\(\log_5 (5^{2x} — 2 \cdot 5^x) = \log_5 15;\)
\(5^{2x} — 2 \cdot 5^x = 15;\)
\(5^{2x} — 2 \cdot 5^x — 15 = 0;\)

Дискриминант:
\(D = (-2)^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64;\)

Корни:
\(5^x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2};\)
\(5^x = 5\) или \(5^x = \frac{1}{5};\)
\(x_1 = 1,\ x_2 = -1.\)

Ответ: \(x = 1.\)

3)
\(\log_{y5}(16 — 6) = 2 + \log_{5}(4x — 2);\)
\(\log_{5}(4^{2x} — 6) = \log_{5}(4x — 2);\)
\(4^{2x} — 6 = 5 \cdot 4x — 10;\)
\(4^{2x} — 5 \cdot 4x + 4 = 0;\)

Дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9;\)

Корни:
\(
4^x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2};
\)
\(
4^x = 4 \quad \text{или} \quad 4^x = 1;
\)
\(x_1 = 1,\ x_2 = 0.\)

Область определения: \(4x — 2 > 0,\ x > \frac{1}{2};\)
Ответ: \(x = 1.\)

4)
\(x \lg 3 — 1 = 2 \lg 3 — \lg(3^x + 1);\)
\(
\lg(3^x + 1) = x \lg 3 — 2 \lg 3 + 1;
\)
\(
\lg(3^x + 1) = \lg\left(\frac{10}{9}\right);
\)
\(
3^x + 1 = \frac{10}{9};
\)

Решение уравнения:
\(3^{2x} + 3^x — 90 = 0;\)

Дискриминант:
\(D = (3)^2 + 4 \cdot 90 = 9 + 360 = 361;\)

Корни:
\(
3^x = \frac{-(-19) \pm \sqrt{361}}{2} = \frac{19 \pm 19}{2};
\)
\(
3^x = 10 \quad \text{или} \quad x = -1.
\)

Область определения: \(3^x + 1 > 0,\ x \in \mathbb{R};\)
Ответ: \(x = 2.\)

1) \(-10\log_6(5x+1) = \log_6(x-1)\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
\log_6 \sqrt{5x+1} = \log_6(x-1)
\)

Приравняем аргументы логарифмов:
\(
\sqrt{5x+1} = x-1
\)

Возведём обе стороны уравнения в квадрат:
\(
5x+1 = (x-1)^2
\)

Раскроем скобки:
\(
5x+1 = x^2 — 2x + 1
\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
x^2 — 7x = 0
\)

Разложим на множители:
\(
x(x-7) = 0
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 7
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\log_6(5x+1)\):
\(
5x+1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{5}
\)

2. Для \(\log_6(x-1)\):
\(
x-1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\)

Пересечение областей определения:
\(
x > 1
\)

Подходит только корень \(x_2 = 7\).

Ответ: \(x = 7\).

2) \(\log_5 (25^x — 2 \cdot 5^x) = 2 \log_{25} 15\)

Используем свойство логарифмов для преобразования правой части уравнения:
\(
2 \log_{25} 15 = \log_5 15
\)

Тогда уравнение приобретает вид:
\(
\log_5 (25^x — 2 \cdot 5^x) = \log_5 15
\)

Приравняем аргументы логарифмов:
\(
25^x — 2 \cdot 5^x = 15
\)

Представим \(25^x\) как \(5^{2x}\):
\(
5^{2x} — 2 \cdot 5^x = 15
\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
5^{2x} — 2 \cdot 5^x — 15 = 0
\)

Обозначим \(t = 5^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 — 2t — 15 = 0
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{64}}{2} = \frac{2 — 8}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5
\)

Так как \(t = 5^x > 0\), остаётся только корень \(t_2 = 5\).
\(
5^x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\)

Ответ: \(x = 1\).

3) \(\log_{5}(16 — 6) = 2 + \log_{5}(4x — 2)\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
\log_{5}(4^{2x} — 6) = \log_{5}(4x — 2)
\)

Приравняем аргументы логарифмов:
\(
4^{2x} — 6 = 5 \cdot (4x — 2)
\)

Раскроем скобки:
\(
4^{2x} — 6 = 20x — 10
\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
4^{2x} — 20x + 4 = 0
\)

Обозначим \(t = 4^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 — 5t + 4 = 0
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2} = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4
\)

Возвращаемся к исходной переменной \(t = 4^x\):
1. Если \(4^x = 1\), то \(x = 0\).
2. Если \(4^x = 4\), то \(x = 1\).

Теперь проверим область определения логарифмов:
\(
4x — 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{2}
\)

Среди корней \(x = 0\) и \(x = 1\) подходит только \(x = 1\).

Ответ: \(x = 1\).

4) \(x \log 3 — 1 = 2 \log 3 — \log(3^x + 1)\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
\log(3^x + 1) = x \log 3 — 2 \log 3 + 1
\)

Используем свойство логарифмов:
\(
\log(3^x + 1) = \log\left(\frac{10}{9}\right)
\)

Приравняем аргументы логарифмов:
\(
3^x + 1 = \frac{10}{9}
\)

Решим уравнение:
\(
3^{2x} + 3^x — 90 = 0
\)

Обозначим \(t = 3^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 + t — 90 = 0
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
t_1 = \frac{-1 — \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 — 19}{2} = -10, \quad t_2 = \frac{-1 + \sqrt{361}}{2} = \frac{-1 + 19}{2} = 9
\)

Возвращаемся к исходной переменной \(t = 3^x\):
1. Если \(3^x = -10\), то решение невозможно, так как \(3^x > 0\).
2. Если \(3^x = 9\), то \(x = 2\).

Область определения логарифмов:
\(
3^x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R}
\)

Ответ: \(x = 2\).