ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\frac{1}{2} \log_{0.1} (2x+3) — \log_{0.1} (2x-3) = 0
\)

2)
\(
\log_{3} (2^{2x} + 2^{x}) = 2 \log_{9} 12
\)

3)
\(
x — \log 5 = x \log 5 + 2 \log 2 — \log (1 + 2^{x})
\)

1) \(\frac{1}{2} \log_{0.1}(2x+3) — \log_{0.1}(2x-3) = 0\);
\(\log_{0.1} \sqrt{2x + 3} = \log_{0.1}(2x-3)\);
\(\sqrt{2x+3} = 2x — 3\);
\(2x + 3 = 4x^2 — 12x + 9\);
\(4x^2 — 14x + 6 = 0\);
\(2x^2 — 7x + 3 = 0\);
\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25\), тогда:
\(x_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}\),
\(x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = 3\).

Область определения:
\(2x — 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5\);

Ответ: \(x = 3\).

2) \(\log_{3}(2^{2x} + 2^x) = 2 \log_{9} 12\);
\(\log_{3}(2^{2x} + 2^x) = \log_{3} 12\);
\(2^{2x} + 2^x = 12\);
\(2^{2x} + 2^x — 12 = 0\).
\(D = 1² + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49\), тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\)
\(x_1 \notin \emptyset\) и \(x_2 = \log_2 3\);

Ответ: \(\log_2 3\).

3) \(x — \lg 5 = x \lg 5 + 2 \lg 2 — \lg (1 + 2^x);\)

\(
\frac{\lg 10^x}{\lg 5} = \frac{\lg \left( \frac{5 \cdot 4}{1 + 2^x} \right)}{\lg 5};
\)

\(
\frac{10^x}{5} = \frac{5 \cdot 4}{1 + 2^x};
\)

\(
10^x + 20 \cdot x = 20 \cdot 5^x;
\)

\(
2^x + 4^x = 20;
\)

\(
2^{2x} + 2^x — 20 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81, тогда:
\)

\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4;
\)

Область определения:
\(1 + 2^x > 0, \quad x \in \mathbb{R};\)

Ответ: \(x = 2\).

1) \(\frac{1}{2} \log_{0.1}(2x+3) — \log_{0.1}(2x-3) = 0\)
Перепишем уравнение, используя свойства логарифмов:
\(
\log_{0.1} \sqrt{2x + 3} = \log_{0.1}(2x-3)
\)
Так как логарифмы равны, их аргументы также равны:
\(
\sqrt{2x+3} = 2x — 3
\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(
2x + 3 = (2x — 3)^2
\)
Раскроем скобки:
\(
2x + 3 = 4x^2 — 12x + 9
\)
Перенесем все в одну сторону уравнения:
\(
4x^2 — 14x + 6 = 0
\)
Сократим на \(2\):
\(
2x^2 — 7x + 3 = 0
\)
Рассчитаем дискриминант:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25
\)
Найдем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 — 5}{4} = \frac{1}{2}
\)
\(
x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = 3
\)
Проверим область определения. Условие:
\(
2x — 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1.5
\)
Таким образом, \(x_1 = \frac{1}{2}\) не удовлетворяет области определения.

Ответ: \(x = 3\).

2) \(\log_{3}(2^{2x} + 2^x) = 2 \log_{9} 12\)
Используем свойство логарифмов:
\(
2 \log_{9} 12 = \log_{3} 12
\)
Тогда уравнение перепишется:
\(
\log_{3}(2^{2x} + 2^x) = \log_{3} 12
\)
Аргументы логарифмов равны:
\(
2^{2x} + 2^x = 12
\)
Перенесем \(12\) в одну сторону:
\(
2^{2x} + 2^x — 12 = 0
\)
Заметим, что \(2^{2x} = (2^x)^2\). Обозначим \(t = 2^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 + t — 12 = 0
\)
Рассчитаем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
\)
Найдем корни:
\(
t_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2} = -4
\)
\(
t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = 3
\)
Так как \(t = 2^x > 0\), то \(t_1 = -4\) не подходит. Остался корень \(t_2 = 3\):
\(
2^x = 3
\)
Применим логарифм:
\(
x = \log_2 3
\)

Ответ: \(x = \log_2 3\).

3) \(x — \lg 5 = x \lg 5 + 2 \lg 2 — \lg (1 + 2^x)\)
Перепишем уравнение, используя свойства логарифмов:
\(
\frac{\lg 10^x}{\lg 5} = \frac{\lg \left( \frac{5 \cdot 4}{1 + 2^x} \right)}{\lg 5}
\)
Упростим выражение:
\(
\frac{10^x}{5} = \frac{5 \cdot 4}{1 + 2^x}
\)
Перемножим крест-накрест:
\(
10^x + 20 \cdot x = 20 \cdot 5^x
\)
Представим \(10^x = 2^x \cdot 5^x\):
\(
2^x \cdot 5^x + 20 \cdot x = 20 \cdot 5^x
\)
Разделим обе части на \(5^x\):
\(
2^x + 4^x = 20
\)
Обозначим \(t = 2^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 + t — 20 = 0
\)
Рассчитаем дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81
\)
Найдем корни:
\(
t_1 = \frac{-1 — \sqrt{81}}{2} = -5
\)
\(
t_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = 4
\)
Так как \(t = 2^x > 0\), то \(t_1 = -5\) не подходит. Остался корень \(t_2 = 4\):
\(
2^x = 4
\)
Применим логарифм:
\(
x = 2
\)

Проверим область определения:
\(
1 + 2^x > 0, \quad x \in \mathbb{R}
\)
Условие выполнено.

Ответ: \(x = 2\).