ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_4 (x-3) + \log_4 x = 1\)

2) \(\log_{0.5} (4-x) + \log_{0.5} (x-1) = -1\)

3) \(\lg (x-2) + \lg (x-3) = 1 — \lg 5\)

4) \(\log_3 (2x-1) + \log_3 (x-4) = 2\)

5) \(\lg \sqrt{5x-4} + \lg \sqrt{x+1} = 2 + \lg 0.18\)

6) \(\lg (x-1) + \lg (x-3) = \lg (1.5x-3)\)

7) \(\log_2 (5-x) — \log_2 (x-1) = 1 — \log_2 (x+2)\)

8) \(2\log_5 (x+1) — \log_5 (x+9) = \log_5 (3x-17)\)

1) \(\log_4(x − 3) + \log_4x = 1\);
\(\log_4x(x − 3) = \log_44\);
\(x² − 3x = 4\);
\(x² − 3x − 4 = 0\);
\(D = 3² − 4 ⋅ 4 = 9 + 16 = 25\), тогда:
\(x₁ = \frac{3 − 5}{2} = −1\) и \(x₂ = \frac{3 + 5}{2} = 4\);
\(x − 3 > 0, x > 0\);
\(x > 3, x > 0\);
Ответ: 4.

2) \(\log_{0.5}(4 − x) + \log_{0.5}(x − 1) = −1\);
\(\log_{0.5}(4 − x)(x − 1) = \log_{0.5}2\);
\(4x − 4 − x² + x = 2\);
\(x² − 5x + 6 = 0\);
\(D = 5² − 4 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1\), тогда:
\(x₁ = \frac{5 − 1}{2} = 2\) и \(x₂ = \frac{5 + 1}{2} = 3\);
\(4 − x > 0, x − 1 > 0\);
\(x < 4, x > 1\);
Ответ: 2, 3.

3)
\(
\lg(x-2) + \lg(x-3) = 1 — \lg 5;
\)
\(
\lg((x — 2)(x — 3)) = \lg 10;
\)
\(
x^2 — 3x — 2x + 6 = 10;
\)
\(
x^2 — 5x + 4 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \, \text{и} \, x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)
\(
x — 2 > 0, \, x — 3 > 0;
\)
\(
x > 2, \, x > 3;
\)
Ответ: 4.

4)
\(
\log_3(2x-1) + \log_3(x-4) = 2;
\)
\(
\log_3((2x-1)(x-4)) = \log_3 9;
\)
\(
2x^2 — 8x — x + 4 = 9;
\)
\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121, \, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{9 — \sqrt{121}}{2} = \frac{9 — 11}{2} = -1 \, \text{и}
\)
\(
x_2 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2} = \frac{9 + 11}{2} = 5;
\)
\(
2x — 1 > 0, \, x — 4 > 0;
\)
\(
x > 0.5, \, x > 4;
\)
Ответ: 5.

5)
\(
\lg \sqrt{5x — 4} + \lg \sqrt{x + 1} = 2 + \lg 0,18;
\)
\(
\lg \sqrt{(5x — 4)(x + 1)} = \lg (100 \cdot 0,18);
\)
\(
\sqrt{5x^2 + 5x — 4x — 4} = 18;
\)
\(
5x^2 + x — 4 = 324;
\)
\(
5x^2 + x — 328 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 5 \cdot 328 = 1 + 6560 = 6561, \, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 81}{2 \cdot 5} = -8,2 \, \text{и} \, x_2 = \frac{-1 + 81}{2 \cdot 5} = 8;
\)
\(
5x — 4 > 0, \, x + 1 > 0;
\)
\(
x > 0,8, \, x > -1;
\)
Ответ: 8

6)
\(
\lg(x — 1) + \lg(x — 3) = \lg(1,5x — 3);
\)
\(
\lg((x — 1)(x — 3)) = \lg(1,5x — 3);
\)
\(
x^2 — 3x — x + 3 = 1,5x — 3;
\)
\(
x^2 — 5,5x + 6 = 0;
\)
\(
2x^2 — 11x + 12 = 0;
\)
\(
D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 — 96 = 25, \, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{11 — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{11 — 5}{4} = 1,5 \, \text{и} \, x_2 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{11 + 5}{4} = 4;
\)
\(
x — 1 > 0, \, x — 3 > 0;
\)
\(
x > 1, \, x > 3;
\)
Ответ: 4.

7)
\(
\log_2(5 − x) − \log_2(x − 1) = 1 − \log_2(x + 2);
\)
\(
\log_2\frac{5 − x}{x − 1} = \log_2\frac{2}{x + 2};
\)
\(
(5 − x)(x + 2) = 2(x − 1);
\)
\(
5x + 10 − x^2 − 2x = 2x − 2;
\)
\(
x^2 − x − 12 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49, \, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{1 − \sqrt{49}}{2} = −3, \, x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = 4;
\)
\(
5 − x > 0, \, x − 1 > 0;
\)
\(
x < 5, \, x > 1;
\)

Ответ: 4.

8)
\(
2 \log_5(x + 1) − \log_5(x + 9) = \log_5(3x − 17);
\)
\(
\log_5(x + 1)^2 = \log_5((3x − 17)(x + 9));
\)
\(
x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 27x − 17x − 153;
\)
\(
2x^2 + 8x − 154 = 0;
\)
\(
x^2 + 4x − 77 = 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot (−77) = 16 + 308 = 324, \, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{−4 − \sqrt{324}}{2} = −11, \, x_2 = \frac{−4 + \sqrt{324}}{2} = 7;
\)
\(
x + 1 > 0, \, x + 9 > 0, \, 3x − 17 > 0;
\)
\(
x > −1, \, x > −9, \, x > \frac{17}{3};
\)

Ответ: 7.

1)
\(
\log_4(x — 3) + \log_4 x = 1
\)
\(
\log_4(x(x — 3)) = \log_4 4
\)
\(
x^2 — 3x = 4
\)
\(
x^2 — 3x — 4 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4
\)

Область определения:
\(
x — 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 3
\)
\(
x > 0
\)
Таким образом, область определения: \(x > 3\).

Ответ: 4.

2)
\(
\log_{0.5}(4 — x) + \log_{0.5}(x — 1) = -1
\)
\(
\log_{0.5}((4 — x)(x — 1)) = \log_{0.5} 2
\)
\(
(4 — x)(x — 1) = 2
\)
\(
4x — 4 — x^2 + x = 2
\)
\(
-x^2 + 5x — 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 5x + 6 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3
\)

Область определения:
\(
4 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 4
\)
\(
x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\)
Таким образом, область определения: \(1 < x < 4\).

Ответ: 2, 3.

3)
\(
\lg(x — 2) + \lg(x — 3) = 1 — \lg 5
\)
\(
\lg((x — 2)(x — 3)) = \lg 10
\)
\(
(x — 2)(x — 3) = 10
\)
\(
x^2 — 5x + 6 = 10
\)
\(
x^2 — 5x — 4 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{5 — \sqrt{41}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}
\)

Область определения:
\(
x — 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2
\)
\(
x — 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 3
\)
Таким образом, область определения: \(x > 3\).

Ответ: \(x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \approx 4.7\).

4)
\(
\log_3(2x — 1) + \log_3(x — 4) = 2
\)
\(
\log_3((2x — 1)(x — 4)) = \log_3 9
\)
\(
(2x — 1)(x — 4) = 9
\)
\(
2x^2 — 8x — x + 4 = 9
\)
\(
2x^2 — 9x — 5 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{9 — \sqrt{121}}{4} = \frac{9 — 11}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{9 + \sqrt{121}}{4} = \frac{9 + 11}{4} = 5
\)

Область определения:
\(
2x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0.5
\)
\(
x — 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 4
\)
Таким образом, область определения: \(x > 4\).

Ответ: 5.

5)
\(
\lg \sqrt{5x — 4} + \lg \sqrt{x + 1} = 2 + \lg 0.18
\)
\(
\lg \sqrt{(5x — 4)(x + 1)} = \lg(100 \cdot 0.18)
\)
\(
\sqrt{(5x — 4)(x + 1)} = 18
\)
\(
(5x — 4)(x + 1) = 324
\)
\(
5x^2 + 5x — 4x — 4 = 324
\)
\(
5x^2 + x — 328 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-328) = 1 + 6560 = 6561
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-1 — 81}{10} = -8.2, \quad x_2 = \frac{-1 + 81}{10} = 8
\)

Область определения:
\(
5x — 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0.8
\)
\(
x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1
\)
Таким образом, область определения: \(x > 0.8\).

Ответ: 8.

6)
\(
\lg(x — 1) + \lg(x — 3) = \lg(1.5x — 3)
\)
\(
\lg((x — 1)(x — 3)) = \lg(1.5x — 3)
\)
\(
(x — 1)(x — 3) = 1.5x — 3
\)
\(
x^2 — 4x + 3 = 1.5x — 3
\)
\(
x^2 — 5.5x + 6 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-5.5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 30.25 — 24 = 6.25
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{5.5 — \sqrt{6.25}}{2} = \frac{5.5 — 2.5}{2} = 1.5, \quad x_2 = \frac{5.5 + \sqrt{6.25}}{2} = \frac{5.5 + 2.5}{2} = 4
\)

Область определения:
\(
x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\)
\(
x — 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 3
\)
Таким образом, область определения: \(x > 3\).

Ответ: 4.

7)
\(
\log_2(5 — x) — \log_2(x — 1) = 1 — \log_2(x + 2)
\)
\(
\log_2\frac{5 — x}{x — 1} = \log_2\frac{2}{x + 2}
\)
\(
(5 — x)(x + 2) = 2(x — 1)
\)
\(
5x + 10 — x^2 — 2x = 2x — 2
\)
\(
-x^2 + 5x + 12 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 — 48 = -23
\)
Корней нет, уравнение не имеет решений.

Область определения:
\(
5 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 5
\)
\(
x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1
\)
Таким образом, область определения: \(1 < x < 5\).

Ответ: 4.

8)
\(
2 \log_5(x + 1) — \log_5(x + 9) = \log_5(3x — 17)
\)
\(
\log_5(x + 1)^2 = \log_5((3x — 17)(x + 9))
\)
\(
(x + 1)^2 = (3x — 17)(x + 9)
\)
\(
x^2 + 2x + 1 = 3x^2 + 27x — 17x — 153
\)
\(
0 = 2x^2 + 8x — 154
\)
\(
x^2 + 4x — 77 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-4 — \sqrt{324}}{2} = -11, \quad x_2 = \frac{-4 + \sqrt{324}}{2} = 7
\)

Область определения:
\(
x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1
\)
\(
x + 9 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -9
\)
\(
3x — 17 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{17}{3}
\)
Таким образом, область определения: \(x > \frac{17}{3}\).

Ответ: 7.