ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_7 x + \log_7 (x + 6) = 1\)

2) \(\log_3 (5 — x) + \log_3 (3 — x) = 1\)

3) \(\log_{1/2} (4x — 1) + \log_{1/2} (x + 1) = \log_{0.5} 3.5\)

4) \(\log_{0.6} (x + 2) + \log_{0.6} (6 — x) = \log_{0.6} (x + 8)\)

5) \(\log_2 (2x — 1) — \log_2 (x + 2) = 2 — \log_2 (x + 1)\)

6) \(2 \lg (x + 1) — \lg (4x — 5) = \lg (x — 5)\)

1) \(\log_7 x + \log_7(x+ 6) = 1;\)
\(\log_7 x(x+6) = \log_7 7;\)
\(x^2 + 6x = 7;\)
\(x^2 + 6x — 7 = 0;\)

\(D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1;
\)

Область определения: \(x > 0, x+6 > 0; x > 0, x > -6;\)
Ответ: \(x = 1.\)

2) \(\log_3(5-x)+\log_3(3-x)=1;\)
\(\log_3(5-x)(3-x)= \log_3 3;\)
\(15-5x-3x+x^2=3;\)
\(x^2 — 8x + 12 = 0;\)

\(D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{8-4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8+4}{2} = 6;
\)

Область определения: \(5 — x > 0, 3 — x > 0;\)
\(x < 5, x < 3;\)
Ответ: \(x = 2.\)

3) \(\log_{0.5}(4x — 1) + \log_{0.5}(x + 1) = \log_{0.5} 3.5;\)
\(
\log_{0.5}((4x-1)(x+1)) = \log_{0.5} 3.5;
\)
\(4x^2 + 4x — x — 1 = 3.5;\)
\(4x^2 + 3x — 4.5 = 0;\)
\(8x^2 + 6x — 9 = 0;\)

\(D = 6^2 + 4 \cdot 8 \cdot 9 = 36 + 288 = 324,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 8} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-6 — 18}{2 \cdot 8} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2};
\)

Область определения: \(4x — 1 > 0, x + 1 > 0;\)
\(x > \frac{1}{4}, x > -1;\)
Ответ: \(x = \frac{3}{4}.\)

4) \(\log_{0.6}(x+2) + \log_{0.6}(6-x) = \log_{0.6}(x+8);\)
\(
\log_{0.6}((x+2)(6-x)) = \log_{0.6}(x+8);
\)
\(6x — x^2 + 12 — 2x = x + 8;\)
\(x^2 — 3x — 4 = 0;\)

\(D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;
\)

Область определения: \(x + 2 > 0, x > -2; x < 6;\)
Ответ: \(x = -1; x = 4.\)

5) \(\log_2(2x — 1) — \log_2(x + 2) = 2 — \log_2(x + 1);\)
\(
\log_2 \frac{2x — 1}{x + 2} = \log_2 \frac{4}{x + 1};
\)
\((2x-1)(x+1) = 4(x+2);\)
\(2x^2 + 2x — x — 1 = 4x + 8;\)
\(2x^2 — 3x — 9 = 0;\)

\(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 + 72 = 81,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{3 — 9}{2 \cdot 2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = 3;
\)

Область определения: \(2x — 1 > 0, x + 2 > 0;\)
\(x > \frac{1}{2}, x > -2;\)
Ответ: \(x = 3.\)

6) \(2\lg(x+1) — \lg(4x-5) = \lg(x-5);\)
\(
\lg(x+1)^2 = \lg((x-5)(4x-5));
\)
\(x^2 + 2x + 1 = 4x^2 — 5x — 20x + 25;\)
\(3x^2 — 27x + 24 = 0;\)
\(x^2 — 9x + 8 = 0;\)

\(D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;
\)

Область определения: \(x + 1 > 0, x — 5 > 0, 4x — 5 > 0;\)
\(x > -1, x > 5, x > \frac{5}{4};\)
Ответ: \(x = 8.\)

1)

Рассмотрим уравнение:
\(
\log_7 x + \log_7(x + 6) = 1
\)
Согласно свойству логарифмов, можем объединить логарифмы:
\(
\log_7(x(x + 6)) = \log_7 7
\)
Это приводит к уравнению:
\(
x(x + 6) = 7
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 + 6x = 7
\)
Переносим все на одну сторону:
\(
x^2 + 6x — 7 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1
\)

Область определения:
\(
x > 0 \quad \text{и} \quad x + 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0
\)
Таким образом, единственный допустимый корень:
\(
x = 1.
\)

2)

Рассмотрим уравнение:
\(
\log_3(5 — x) + \log_3(3 — x) = 1
\)
Объединим логарифмы:
\(
\log_3((5 — x)(3 — x)) = \log_3 3
\)
Это приводит к уравнению:
\(
(5 — x)(3 — x) = 3
\)
Раскроем скобки:
\(
15 — 5x — 3x + x^2 = 3
\)
Приведем подобные:
\(
x^2 — 8x + 12 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6
\)

Область определения:
\(
5 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 5
\)
\(
3 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 3
\)
Таким образом, единственный допустимый корень:
\(
x = 2.
\)

3)

Рассмотрим уравнение:
\(
\log_{0.5}(4x — 1) + \log_{0.5}(x + 1) = \log_{0.5} 3.5
\)
Объединим логарифмы:
\(
\log_{0.5}((4x — 1)(x + 1)) = \log_{0.5} 3.5
\)
Это приводит к уравнению:
\(
(4x — 1)(x + 1) = 3.5
\)
Раскроем скобки:
\(
4x^2 + 4x — x — 1 = 3.5
\)
Приведем подобные:
\(
4x^2 + 3x — 4.5 = 0
\)
Умножим уравнение на 2 для удобства:
\(
8x^2 + 6x — 9 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
x_1 = \frac{-6 + 18}{2 \cdot 8} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{-6 — 18}{2 \cdot 8} = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}
\)

Область определения:
\(
4x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{4}
\)
\(
x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1
\)
Таким образом, единственный допустимый корень:
\(
x = \frac{3}{4}.
\)

4)

Рассмотрим уравнение:
\(
\log_{0.6}(x + 2) + \log_{0.6}(6 — x) = \log_{0.6}(x + 8)
\)
Объединим логарифмы:
\(
\log_{0.6}((x + 2)(6 — x)) = \log_{0.6}(x + 8)
\)
Это приводит к уравнению:
\(
(x + 2)(6 — x) = x + 8
\)
Раскроем скобки:
\(
6x — x^2 + 12 — 2x = x + 8
\)
Приведем подобные:
\(
x^2 — 3x — 4 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4
\)

Область определения:
\(
x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2
\)
\(
6 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 6
\)
Таким образом, допустимые корни:
\(
x = -1, \quad x = 4.
\)

5)

Рассмотрим уравнение:
\(
\log_2(2x — 1) — \log_2(x + 2) = 2 — \log_2(x + 1)
\)
Объединим логарифмы:
\(
\log_2 \frac{2x — 1}{x + 2} = \log_2 \frac{4}{x + 1}
\)
Это приводит к уравнению:
\(
(2x — 1)(x + 1) = 4(x + 2)
\)
Раскроем скобки:
\(
2x^2 + 2x — x — 1 = 4x + 8
\)
Приведем подобные:
\(
2x^2 — 3x — 9 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
x_1 = \frac{3 — 9}{2 \cdot 2} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = 3
\)

Область определения:
\(
2x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{2}
\)
\(
x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2
\)
Таким образом, единственный допустимый корень:
\(
x = 3.
\)

6)

Рассмотрим уравнение:
\(
2\lg(x + 1) — \lg(4x — 5) = \lg(x — 5)
\)
Объединим логарифмы:
\(
\lg(x + 1)^2 = \lg((x — 5)(4x — 5))
\)
Это приводит к уравнению:
\(
(x + 1)^2 = (x — 5)(4x — 5)
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 + 2x + 1 = 4x^2 — 5x — 20x + 25
\)
Приведем подобные:
\(
3x^2 — 27x + 24 = 0
\)
Упростим:
\(
x^2 — 9x + 8 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
x_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8
\)

Область определения:
\(
x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1
\)
\(
x — 5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 5
\)
\(
4x — 5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{5}{4}
\)
Таким образом, единственный допустимый корень:
\(
x = 8.
\)