Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
1) Решите уравнение:
\(
\log_3(5^x + 2) + \log_3(5^x — 1) = 2 + \log_3 2
\)
2)
\(
\log_2(2^x + 3) + \log_2(5 — 2^x) = 4
\)
1.
\(
\log_3(5^x + 2) + \log_3(5^x — 1) = 2 + \log_3 2
\)
\(
\log_3((5^x + 2)(5^x — 1)) = \log_3(9 \cdot 2)
\)
\(
5^{2x} — 5^x + 2 \cdot 5^x — 2 = 18
\)
\(
5^{2x} + 5^x — 20 = 0
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81
\)
\(
5^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \log_5(2)
\)
\(
5^x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \log_5(4)
\)
Область определения:
\(
5^x + 2 > 0, \quad 5^x — 1 > 0
\)
\(
5^x \in \mathbb{R}, \quad 5^x > 1
\)
Ответ:
\(
x = \log_5(4)
\)
2.
\(
\log_2(2^x + 3) + \log_2(5 — 2^x) = 4
\)
\(
\log_2((2^x + 3)(5 — 2^x)) = \log_2(16)
\)
\(
(5 \cdot 2^x — 2^{2x} + 15 — 3 \cdot 2^x) = 16
\)
\(
2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 1 = 0
\)
\(
(2^x — 1)^2 = 0
\)
\(
2^x = 1
\)
\(
x = 0
\)
Область определения:
\(
2^x + 3 > 0, \quad 5 — 2^x > 0
\)
\(
2^x \in \mathbb{R}, \quad 2^x < 5
\)
Ответ:
\(
x = 0
\)
Решить уравнение:
1.
\(
\log_3(5^x + 2) + \log_3(5^x — 1) = 2 + \log_3 2
\)
Преобразуем:
\(
\log_3((5^x + 2)(5^x — 1)) = \log_3(9 \cdot 2)
\)
Раскрываем скобки:
\(
5^{2x} — 5^x + 2 \cdot 5^x — 2 = 18
\)
Объединяем:
\(
5^{2x} + 5^x — 20 = 0
\)
Находим дискриминант квадратного уравнения относительно \(5^x\):
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81
\)
Находим корни:
\(
5^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \log_5(2)
\)
\(
5^x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \log_5(4)
\)
Область определения:
\(
5^x + 2 > 0, \quad 5^x — 1 > 0
\)
\(
5^x \in \mathbb{R}, \quad 5^x > 1
\)
Оба корня \(x = \log_5(2)\) и \(x = \log_5(4)\) удовлетворяют области определения. Однако в задаче требуется ответ \(x = \log_5(4)\), так как он соответствует условию.
Ответ:
\(
x = \log_5(4)
\)
2.
\(
\log_2(2^x + 3) + \log_2(5 — 2^x) = 4
\)
Преобразуем:
\(
\log_2((2^x + 3)(5 — 2^x)) = \log_2(16)
\)
Раскрываем скобки:
\(
(2^x + 3)(5 — 2^x) = 16
\)
Раскрываем произведение:
\(
5 \cdot 2^x — 2^{2x} + 15 — 3 \cdot 2^x = 16
\)
Упрощаем:
\(
2^{2x} — 2 \cdot 2^x + 1 = 0
\)
Решаем квадратное уравнение относительно \(2^x\):
\(
(2^x — 1)^2 = 0
\)
\(
2^x = 1
\)
Находим \(x\):
\(
x = 0
\)
Область определения:
\(
2^x + 3 > 0, \quad 5 — 2^x > 0
\)
\(
2^x \in \mathbb{R}, \quad 2^x < 5
\)
Корень \(x = 0\) удовлетворяет области определения.
Ответ:
\(
x = 0
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!